Odchýlky a vzdialenosti v priestore

V stereometrii počítame dva druhy metrických veličín: odchýlky (uhly medzi priamkami a rovinami) a vzdialenosti. Takmer každú takú úlohu prevedieme na výpočet v rovine – nájdeme vhodný pravouhlý trojuholník a použijeme Pytagorovu vetu alebo goniometrické funkcie. Všetko si ukážeme na kocke.

Kocka a dĺžky, ktoré sa oplatí poznať

Kocku označujeme ABCDEFGH: štvorec ABCD je dolná podstava, vrchol E leží nad A, F nad B, G nad C a H nad D. Dĺžku hrany označujeme a. Stred hrany AB označíme S_AB (podobne S_BC, S_CG…) a stred steny ABCD, teda priesečník jej uhlopriečok, označíme S.

Obe dĺžky dostaneme Pytagorovou vetou. V pravouhlom trojuholníku ABC je |AC|² = a² + a² = 2a², teda |AC| = a√2. Hrana CG je kolmá na podstavu, a preto aj na uhlopriečku AC. Trojuholník ACG je pravouhlý s pravým uhlom pri C: |AG|² = 2a² + a² = 3a², |AG| = a√3.

Odchýlka dvoch priamok

Odchýlka φ dvoch priamok je vždy uhol z intervalu ⟨0°; 90°⟩. Ako ju určíme, závisí od vzájomnej polohy priamok:

• Rovnobežné (aj totožné) priamky majú odchýlku 0°.
• Rôznobežné priamky zvierajú dve dvojice vrcholových uhlov. Odchýlka je veľkosť menšieho z nich (ostrý alebo pravý uhol).
• Mimobežné priamky p, q: zvolíme ľubovoľný bod priamky p a vedieme ním priamku q′ ∥ q. Odchýlka mimobežiek je odchýlka rôznobežiek p a q′ (od voľby bodu nezávisí).

Ak je odchýlka 90°, priamky sú kolmé. Kolmé môžu byť aj mimobežky – napríklad hrany AB a CG.

Odchýlka priamky a roviny

Priamka p je kolmá na rovinu ρ, ak je kolmá na každú priamku roviny ρ. Na overenie stačí, aby bola kolmá na dve rôznobežné priamky roviny ρ. Napríklad hrana AE je kolmá na AB aj na AD, a preto je kolmá na celú rovinu ABC.

• p ⊥ ρ → odchýlka je 90°,
• p ∥ ρ alebo p ⊂ ρ → odchýlka je 0°,
• inak je odchýlka priamky p od roviny ρ rovná odchýlke priamky p od jej pravouhlého priemetu p′ do roviny ρ.

Postup: na priamke zvolíme bod X, nájdeme jeho kolmý priemet X′ do roviny (pätu kolmice z bodu X) a priesečník M priamky s rovinou. Trojuholník MXX′ je pravouhlý s pravým uhlom pri X′ a jeho uhol pri vrchole M je hľadaná odchýlka φ.

Odchýlka dvoch rovín

Rovnobežné roviny majú odchýlku 0°. Ak sa roviny ρ a σ pretínajú v priamke r (priesečnici), zvolíme na nej bod M a v každej rovine vedieme bodom M priamku kolmú na r: p ⊂ ρ, q ⊂ σ. Obe priamky ležia v rovine kolmej na priesečnicu. Odchýlka rovín ρ a σ je odchýlka priamok p a q, teda opäť uhol z ⟨0°; 90°⟩.

Ak je odchýlka 90°, roviny sú kolmé. Stane sa to vtedy, keď jedna rovina obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu (napríklad stena ADHE obsahuje hranu AE kolmú na podstavu).

Vzdialenosti v priestore

Vzdialenosť dvoch útvarov je dĺžka najkratšej úsečky, ktorá ich spája. Najkratšia je vždy kolmica, preto pri výpočte hľadáme pätu kolmice.

• dvoch bodov A, B: dĺžka úsečky |AB|;
• bodu A od priamky p: |AP|, kde P je päta kolmice z bodu A na priamku p;
• bodu A od roviny ρ: |AP|, kde P je päta kolmice z bodu A na rovinu ρ (priamka AP je kolmá na ρ);
• dvoch rovnobežných priamok: vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej priamky od druhej priamky;
• priamky a s ňou rovnobežnej roviny: vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky od roviny;
• dvoch rovnobežných rovín: vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej roviny od druhej roviny;
• dvoch mimobežiek: dĺžka úsečky na osi mimobežiek – priamke, ktorá obe mimobežky pretína a je na obe kolmá. Niekedy je jednoduchšie vypočítať vzdialenosť jednej mimobežky od roviny, ktorá obsahuje druhú mimobežku a je s prvou rovnobežná.

Ak majú útvary spoločný bod (bod leží na priamke, priamka pretína rovinu…), ich vzdialenosť je 0.

Ako riešiť metrické úlohy

1. Nakresli teleso a vyznač v ňom dané body, priamky a roviny.
2. Úlohu preveď do roviny: nájdi pravouhlý trojuholník, v ktorom je hľadaný uhol alebo hľadaná dĺžka (strana alebo výška trojuholníka).
3. Dopočítaj jeho strany. V kocke sa často opakujú hrana a, stenová uhlopriečka a√2 a telesová uhlopriečka a√3; so stredom hrany napríklad √(a² + (a/2)²) = a√5/2.
4. Použi Pytagorovu vetu, goniometrické funkcie ostrého uhla alebo vzorec pre výšku na preponu. Ak trojuholník nie je pravouhlý, pomôže kosínusová veta.

V pravouhlom trojuholníku s preponou c, odvesnou x oproti uhlu φ a odvesnou y pri uhle φ platí:

Vzorec pre výšku na preponu vyplýva z obsahu trojuholníka: ½·x·y = ½·c·v.

Pozri aj: Pytagorova veta, Goniometrické funkcie, Sínusová a kosínusová veta, Euklidove vety, Rezy telies, Vektory.

Riešené príklady

Vo všetkých príkladoch má kocka ABCDEFGH hranu a = 6 cm.