Rezy telies
Keď kocku alebo ihlan rozrežeme rovinou, na reznej ploche vznikne mnohouholník – rez telesa. Naučíš sa, čím je určená rovina, podľa akých pravidiel sa rez konštruuje a aké tvary môže mať. Na konci stránky si rez kocky aj ihlana zostrojíš v otáčateľnom 3D modeli.
Čím je určená rovina
Rovinu označujeme malým gréckym písmenom (ρ, σ, α …) alebo bodmi, ktoré ju určujú – napríklad rovina KLM. Rovina je jednoznačne určená:
- tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke,
- priamkou a bodom, ktorý na nej neleží,
- dvoma rôznobežnými priamkami,
- dvoma rôznymi rovnobežnými priamkami.
Všetky štyri spôsoby sa dajú previesť na prvý – z priamok vyberieme tri body, ktoré neležia na jednej priamke. Ak by tri body ležali na jednej priamke, rovinu by neurčovali: cez priamku prechádza nekonečne veľa rovín.
Pri rezoch budeme stále využívať túto vlastnosť: ak dva rôzne body priamky ležia v rovine, leží v nej celá priamka.
Vzájomná poloha priamky a roviny, dvoch rovín
| priamka p a rovina ρ | spoločné body |
|---|---|
| priamka leží v rovine (p ⊂ ρ) | všetky body priamky |
| priamka je s rovinou rôznobežná | jeden bod – priesečník |
| priamka je s rovinou rovnobežná (neleží v nej) | žiadny |
| dve roviny ρ a σ | spoločné body |
|---|---|
| totožné roviny | všetky body |
| rôznobežné roviny | priamka – priesečnica |
| rovnobežné rôzne roviny | žiadny |
Pri rezoch sa opierame o dve vety:
- Dve rovnobežné roviny pretína tretia rovina v rovnobežných priamkach.
- Ak priamka p leží v rovine ρ a je rovnobežná s rovinou σ, tak priesečnica rovín ρ a σ je rovnobežná s p (ak sa roviny pretínajú).
Čo je rez telesa
Rez telesa rovinou ρ je spoločná časť telesa a roviny ρ. Ak rovina teleso pretína, rez je mnohouholník, ktorého strany ležia v stenách telesa a vrcholy na hranách telesa.
- V každej stene leží najviac jedna strana rezu. Rez preto nemôže mať viac strán, ako má teleso stien: rez kocky má najviac 6 strán, rez štvorbokého ihlana najviac 5.
- Rovinu rezu najčastejšie zadávame tromi bodmi K, L, M na hranách telesa – hovoríme o reze rovinou KLM.
- Strany rezu, ktoré ležia vo viditeľných stenách, kreslíme plnou čiarou, v neviditeľných stenách prerušovanou čiarou.
- Ak má rovina s telesom spoločný len vrchol alebo len hranu, rezom je bod alebo úsečka (rovina sa telesa dotýka). Ak rovina obsahuje celú stenu, rezom je táto stena.
Pravidlá konštrukcie rezu
- Dva body roviny rezu, ktoré ležia v tej istej stene, spojíme. Oba body ležia v rovine rezu aj v rovine steny, preto v oboch leží celá ich spojnica – je to strana rezu.
- Dve rovnobežné steny pretína rovina rezu v rovnobežných úsečkách. Ak poznáme stranu rezu v jednej stene a v protiľahlej stene máme jeden bod rezu, vedieme ním rovnobežku so známou stranou.
- Ak body neležia v tej istej stene, pomôžeme si pomocným bodom. Priamku, v ktorej rovina rezu pretína jednu stenu, predĺžime do priesečníka s priamkou hrany susednej steny. Tento pomocný bod (často leží mimo telesa) patrí rovine rezu aj rovine susednej steny, preto ho spojíme s bodom rezu v tejto stene.
Doplnok k pravidlu 2: ak rovina rezu obsahuje priamku, ktorá je rovnobežná s niektorou stenou (napríklad s jej hranou), pretína túto stenu v úsečke rovnobežnej s danou priamkou. Využijeme to napríklad pri ihlane, keď je strana rezu rovnobežná s hranou podstavy.
Konštrukcia je hotová, keď sa lomená čiara zo strán rezu uzavrie. Pomocné body a predĺžené priamky kreslíme tenkou prerušovanou čiarou.
Aké tvary môže mať rez
Rez kocky
Kocka má 6 stien, preto jej rez môže byť trojuholník, štvoruholník, päťuholník alebo šesťuholník. Rez so siedmimi alebo viacerými stranami neexistuje.
Pravidelný šesťuholník vznikne, keď rovina prechádza stredmi šiestich hrán kocky – napríklad hrán AE, EF, FG, CG, CD, AD. Taká rovina prechádza stredom kocky a je kolmá na telesovú uhlopriečku BH.
Rez pravidelného štvorbokého ihlana
Ihlan ABCDV má 5 stien – podstavu ABCD a štyri bočné steny –, preto jeho rez môže byť trojuholník, štvoruholník alebo päťuholník.
Rovina rovnobežná s podstavou pretína bočné steny v úsečkách rovnobežných s hranami podstavy (pravidlo 2 pre roviny podstavy a rezu). Rez je štvorec podobný podstave – ak rovina prechádza stredom výšky ihlana, má strana rezu dĺžku a/2.
Riešené príklady
- Body K a L ležia v stene EFGH, spojíme ich: KL je strana rezu (pravidlo 1). Úsečka KL je stredná priečka trojuholníka EGH, preto KL ∥ EG a |KL| = |EG| / 2.
- Body K a A ležia v stene ADHE, spojíme ich: strana KA (pravidlo 1).
- Stena ABCD je rovnobežná so stenou EFGH, preto v nej leží strana rezu rovnobežná s KL (pravidlo 2). Vedieme ju bodom A. Keďže KL ∥ EG ∥ AC, je ňou uhlopriečka AC – dostaneme vrchol C.
- Body L a C ležia v stene CDHG, spojíme ich: strana LC (pravidlo 1).
- Rez je štvoruholník KLCA. Strany KL a CA sú rovnobežné a ramená LC a KA sú zhodné, preto je to rovnoramenný lichobežník.
- Dĺžky strán: |AC| = a√2 = 4√2 cm, |KL| = 2√2 cm, |AK|² = 4² + 2² = 20.
- Výška lichobežníka v (Pytagorova veta, polovica rozdielu základní je √2): v² = 20 − (√2)² = 18, v = 3√2 cm.
- Obsah: S = (4√2 + 2√2) / 2 · 3√2 = 3√2 · 3√2 = 18 cm².
- Body L a M ležia v stene EFGH → strana LM. Body K a L ležia v stene ABFE → strana KL (pravidlo 1).
- Body K a M neležia v tej istej stene. Priamku KL predĺžime do priesečníka X s priamkou BF. Bod X leží na predĺžení hrany BF za bodom F, teda mimo kocky.
- Bod X leží na priamke BF, a teda v rovine steny BCGF – v tej istej rovine ako bod M. Priamka XM pretne hranu CG v bode N; úsečka MN je strana rezu (pravidlo 3).
- Stena CDHG je rovnobežná so stenou ABFE: bodom N vedieme rovnobežku s KL, ktorá pretne hranu CD v bode P (pravidlo 2).
- Stena ABCD je rovnobežná so stenou EFGH: bodom P vedieme rovnobežku s LM, ktorá pretne hranu AD v bode Q (pravidlo 2).
- Body K a Q ležia v stene ADHE → strana KQ (pravidlo 1).
- Rez je šesťuholník KLMNPQ. Jeho vrcholy sú stredy šiestich hrán, každá strana má dĺžku a√2 / 2 a všetky vnútorné uhly majú 120°, je to pravidelný šesťuholník. Pre a = 4 cm: S = 6 · (√3 / 4) · (2√2)² = 12√3 ≈ 20,78 cm².
- Body K a L ležia v podstave ABCD → strana KL (pravidlo 1). Podstava je pri pohľade zhora neviditeľná, preto KL kreslíme prerušovane.
- Bod M neleží v podstave. Priamku KL predĺžime do priesečníka X s priamkou BC – bod X leží na predĺžení hrany BC za bodom B.
- Bod X leží v rovine steny BCV, v ktorej je aj bod M. Priamka XM pretne hranu BV v bode N (pravidlo 3).
- Body K a N ležia v stene ABV → strana KN (pravidlo 1).
- Rovnako: priamka KL pretne priamku CD v bode Y (na predĺžení hrany CD za bodom D). Bod Y leží v rovine steny CDV, priamka YM pretne hranu DV v bode P (pravidlo 3).
- Body L a P ležia v stene ADV → strana LP (pravidlo 1).
- Rez je päťuholník KLPMN. (Dá sa ukázať, že bod N delí hranu BV v pomere |BN| : |NV| = 1 : 3.)
Dĺžky strán a obsah rezu zvyčajne počítame pomocou Pytagorovej vety. Na vzdialenosti a odchýlky v kocke a ihlane nadväzuje téma Odchýlky a vzdialenosti v priestore.
🧠 Zapamätaj si
- Rovina je určená tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke.
- Rez telesa je mnohouholník – jeho strany ležia v stenách, vrcholy na hranách telesa.
- Pravidlo 1: dva body rezu v tej istej stene spoj.
- Pravidlo 2: rovnobežné steny pretína rovina rezu v rovnobežných úsečkách.
- Pravidlo 3: ak body neležia v jednej stene, predĺž priamku rezu do priesečníka s priamkou hrany (pomocný bod) a pokračuj v susednej stene.
- Rez kocky má 3 až 6 strán, rez štvorbokého ihlana 3 až 5 strán.
Vyskúšaj si to — rez kocky a ihlana
Vyber teleso a polohu bodov K, L, M na hranách. Rez rovinou KLM sa hneď prepočíta a zobrazí aj postup jeho konštrukcie.