Pytagorova veta
Pytagorova veta hovorí, ako spolu súvisia dĺžky strán pravouhlého trojuholníka. Keď poznáš dve strany, tretiu vypočítaš — takto sa počíta napríklad uhlopriečka obdĺžnika, výška, do ktorej siaha rebrík, alebo uhlopriečka televízora.
Pravouhlý trojuholník
Pravouhlý trojuholník má jeden uhol pravý (90°). Jeho strany majú vlastné mená:
- Odvesny a, b — dve strany, ktoré zvierajú pravý uhol.
- Prepona c — strana oproti pravému uhlu. Je vždy najdlhšia zo všetkých troch strán.
V tejto lekcii je pravý uhol vždy pri vrchole C. Odvesna a = |BC| leží oproti vrcholu A, odvesna b = |AC| oproti vrcholu B a prepona c = |AB| oproti vrcholu C.
Pytagorova veta
V každom pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina prepony rovná súčtu druhých mocnín oboch odvesien.
To isté sa dá povedať pomocou obsahov: ak nad každou stranou pravouhlého trojuholníka nakreslíme štvorec, obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad odvesnami. Napríklad pri stranách 3, 4 a 5 je 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 — vyskúšaj si to hneď nižšie.
Pozor: veta platí len v pravouhlom trojuholníku a na ľavej strane musí byť vždy prepona. Veta nesie meno gréckeho matematika Pytagora zo Samu (6. storočie pred n. l.), tento vzťah však poznali a používali už skôr napríklad v Babylonii.
Vyskúšaj si to — štvorce nad stranami
Ťahaj bod A nahor alebo nadol a bod B doľava alebo doprava (myšou alebo prstom). Dĺžky odvesien môžeš nastaviť aj posuvníkmi alebo zadať číslom od 1 do 10. Pri celých číslach si v štvorcoch môžeš spočítať jednotkové štvorčeky.
Prečo veta platí — dôkaz preskladaním
Zoberieme štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky s odvesnami a, b a preponou c a uložíme ich do štvorca so stranou a + b dvoma rôznymi spôsobmi:
- Oba veľké štvorce sú rovnaké — majú obsah (a + b)2 — a v oboch ležia tie isté štyri trojuholníky (sivé).
- V rozložení 1 ostane voľný jeden štvorec so stranou c, jeho obsah je c2. (Je to naozaj štvorec: všetky jeho strany sú prepony c a každý jeho uhol spolu s dvoma ostrými uhlami trojuholníka, ktoré majú dohromady 90°, tvorí priamy uhol 180°, takže má 90°.)
- V rozložení 2 ostanú voľné dva štvorce so stranami a a b, ich obsah je spolu a2 + b2.
- Keď z rovnakého veľkého štvorca odoberieme rovnaké trojuholníky, zvyšné plochy musia mať rovnaký obsah: c2 = a2 + b2.
Výpočet prepony a odvesny
Z rovnosti c2 = a2 + b2 vypočítame ktorúkoľvek stranu pravouhlého trojuholníka, ak poznáme zvyšné dve:
- Najprv umocni, potom sčítaj alebo odčítaj a až nakoniec odmocni.
- √(a2 + b2) nie je a + b! Napríklad √(32 + 42) = √25 = 5, a nie 3 + 4 = 7.
- Ak odmocnina nevyjde celé číslo, výsledok zaokrúhli, napríklad √41 ≈ 6,40.
- Kontrola: prepona musí vyjsť dlhšia ako každá odvesna.
Riešené príklady
- Pytagorova veta: c² = a² + b²
- Dosadíme: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
- Odmocníme: c = √225 = 15
Odpoveď: Prepona má dĺžku 15 cm.
- Vyjadríme odvesnu: a² = c² − b²
- Dosadíme: a² = 10² − 7² = 100 − 49 = 51
- Odmocníme a zaokrúhlime: a = √51 ≈ 7,14
- Kontrola: 7,14 < 10 — odvesna je kratšia ako prepona, výsledok dáva zmysel.
Odpoveď: Druhá odvesna má približne 7,14 cm.
- Stena a zem zvierajú pravý uhol, takže stena, zem a rebrík tvoria pravouhlý trojuholník. Rebrík je prepona c = 5 m, vzdialenosť od steny je odvesna a = 1,4 m, hľadaná výška h je druhá odvesna.
- Dosadíme: h² = c² − a² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04
- Odmocníme: h = √23,04 = 4,8
Odpoveď: Rebrík siaha do výšky 4,8 m.
Obrátená Pytagorova veta
Veta platí aj naopak: ak pre dĺžky strán trojuholníka platí, že druhá mocnina najdlhšej strany sa rovná súčtu druhých mocnín dvoch kratších strán, trojuholník je pravouhlý. Pravý uhol leží oproti najdlhšej strane.
- Strany 5, 12, 13: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 a 132 = 169. Rovnajú sa, trojuholník je pravouhlý.
- Strany 4, 5, 6: 42 + 52 = 16 + 25 = 41, ale 62 = 36. Keďže 41 ≠ 36, trojuholník nie je pravouhlý.
Pozor: vždy porovnávaj s najdlhšou stranou — tá jediná môže byť preponou.
Pytagorejské trojice
Trojice prirodzených čísel a, b, c, pre ktoré platí a2 + b2 = c2, sa volajú pytagorejské trojice. Trojuholník s takými stranami je pravouhlý a všetky jeho strany sú celé čísla.
| a | b | c | a2 + b2 = c2 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
Ak všetky tri čísla pytagorejskej trojice vynásobíme rovnakým prirodzeným číslom, dostaneme opäť pytagorejskú trojicu: 3, 4, 5 → 6, 8, 10 → 9, 12, 15. Toto využívajú murári a tesári: na jedno rameno uhla odmerajú 60 cm, na druhé 80 cm a ak je vzdialenosť značiek presne 1 m, uhol je pravý (60, 80, 100 je trojica 3, 4, 5 vynásobená dvadsiatimi).
Pytagorova veta v praxi
Kdekoľvek nájdeš pravý uhol, nájdeš aj pravouhlý trojuholník — a v ňom môžeš použiť Pytagorovu vetu.
Uhlopriečka obdĺžnika
Uhlopriečka je prepona, strany sú odvesny: u = √(a² + b²)
Obdĺžnik 8 cm × 6 cm: u = √(64 + 36) = √100 = 10 cm
Uhlopriečka štvorca
Obe odvesny sú strany štvorca: u = √(a² + a²) = √(2·a²)
Štvorec so stranou 5 cm: u = √50 ≈ 7,07 cm
Výška rovnoramenného trojuholníka
Výška rozdelí trojuholník na dva pravouhlé, rameno r je prepona: v = √(r² − (z/2)²)
Ramená 5 cm, základňa 6 cm: v = √(25 − 9) = √16 = 4 cm
Uhlopriečka televízora
Veľkosť obrazovky sa udáva dĺžkou uhlopriečky v palcoch (1″ = 2,54 cm). Obrazovka 88,6 cm × 49,8 cm:
u = √(88,6² + 49,8²) = √(7 849,96 + 2 480,04) = √10 330 ≈ 101,6 cm
101,6 : 2,54 ≈ 40, je to teda televízor s uhlopriečkou 40″.
Aj pri rebríku opretom o stenu (Príklad 3) je rebrík prepona a stena so zemou zvierajú pravý uhol.
🧠 Zapamätaj si
- V pravouhlom trojuholníku platí c2 = a2 + b2, kde c je prepona a a, b sú odvesny.
- Prepona leží oproti pravému uhlu a je najdlhšia strana.
- Prepona: c = √(a2 + b2) (sčítame). Odvesna: a = √(c2 − b2) (odčítame).
- √(a2 + b2) sa nerovná a + b.
- Obrátená veta: ak c2 = a2 + b2 pre najdlhšiu stranu c, trojuholník je pravouhlý.
- Pytagorejské trojice: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10.
Vyskúšaj si to — kalkulačka Pytagorovej vety
c = √(a² + b²)
Všetky dĺžky zadaj v rovnakých jednotkách (napríklad v cm), výsledok vyjde v tých istých jednotkách.