Euklidove vety

Výška na preponu rozdelí pravouhlý trojuholník na dva menšie trojuholníky, ktoré sú mu podobné. Z tejto podobnosti vyplývajú dve Euklidove vety — o výške a o odvesne. Pomocou nich vypočítaš strany, výšku aj úseky prepony a vieš zostrojiť úsečku dĺžky √n.

Pravouhlý trojuholník a výška na preponu

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Strana AB oproti pravému uhlu je prepona, strany BC a AC sú odvesny. Používame toto označenie:

• prepona c = |AB|, odvesny a = |BC| a b = |AC|;
• výška na preponu v = |CP|, kde P je päta výšky (priamka CP je kolmá na AB);
• úseky prepony c_a = |BP| a c_b = |AP|. Úsek c_a je priľahlý k odvesne a (majú spoločný vrchol B), úsek c_b je priľahlý k odvesne b (spoločný vrchol A).

Päta výšky P leží vždy vnútri prepony, preto sú oba úseky kladné a každý z nich je kratší ako prepona.

Euklidova veta o výške

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky výšky na preponu rovná súčinu dĺžok oboch úsekov prepony:

Po odmocnení v = √(c_a · c_b). Číslo √(x · y) sa volá geometrický priemer kladných čísel x a y — výška na preponu je teda geometrickým priemerom úsekov prepony.

Euklidova veta o odvesne

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky odvesny rovná súčinu dĺžky prepony a dĺžky úseku prepony, ktorý k tejto odvesne prilieha:

Pozor na správny úsek: k odvesne a = |BC| patrí úsek c_a = |BP| pri vrchole B, nie úsek pri vrchole A. Každá odvesna je geometrickým priemerom prepony a „svojho“ úseku: a = √(c · c_a).

Prečo vety platia — podobnosť trojuholníkov

Výška CP rozdelí trojuholník ABC na dva pravouhlé trojuholníky ACP a CBP (oba majú pravý uhol pri vrchole P). Označme α = |∢BAC| a β = |∢ABC|; keďže je uhol pri C pravý, platí α + β = 90°.

• Trojuholník ACP má pri vrchole A uhol α a pri P pravý uhol, preto má pri vrchole C uhol 90° − α = β.
• Trojuholník CBP má pri vrchole B uhol β a pri P pravý uhol, preto má pri vrchole C uhol 90° − β = α.

Všetky tri trojuholníky majú uhly α, β a 90°, preto sú podľa vety uu navzájom podobné:

V podobných trojuholníkoch sú pomery dĺžok zodpovedajúcich si strán rovnaké:

• z △ACP ∼ △CBP: |AP| : |CP| = |CP| : |BP|, teda c_b : v = v : c_a, a odtiaľ v² = c_a · c_b;
• z △CBP ∼ △ABC: |BP| : |BC| = |BC| : |AB|, teda c_a : a = a : c, a odtiaľ a² = c · c_a;
• z △ACP ∼ △ABC: |AP| : |AC| = |AC| : |AB|, teda c_b : b = b : c, a odtiaľ b² = c · c_b.

Podobnosť trojuholníkov si môžeš zopakovať v téme Podobnosť trojuholníkov.

Súvis s Pytagorovou vetou a vzorec pre výšku

Ak sčítame obe vety o odvesne a využijeme c_a + c_b = c, dostaneme

To je Pytagorova veta — Euklidove vety ju teda obsahujú a zároveň dokazujú.

Výšku na preponu vypočítame aj z obsahu trojuholníka. Obsah S vyjadríme dvoma spôsobmi: S = a · b / 2 (odvesny sú na seba kolmé) a S = c · v / 2. Porovnaním dostaneme

Geometrický význam

Súčin dvoch dĺžok je obsah obdĺžnika a druhá mocnina dĺžky je obsah štvorca. Euklidove vety preto hovoria o rovnosti obsahov:

• veta o odvesne: štvorec nad odvesnou a má rovnaký obsah ako obdĺžnik so stranami c a c_a (a štvorec nad b rovnaký obsah ako obdĺžnik c × c_b);
• veta o výške: štvorec nad výškou v má rovnaký obsah ako obdĺžnik so stranami c_a a c_b.

Ak štvorec nad preponou rozdelíme predĺžením výšky CP, rozpadne sa práve na obdĺžniky c × c_a a c × c_b. Ich obsahy sú a² a b² — to je opäť Pytagorova veta. Štvorce a obdĺžniky si pozri v interaktívnej časti nižšie.

Konštrukcia úsečky dĺžky √n

Euklidove vety umožňujú zostrojiť úsečku, ktorej dĺžka je odmocnina z daného čísla n (alebo geometrický priemer dvoch úsečiek). Vrchol pravého uhla nájdeme pomocou Talesovej kružnice: každý bod polkružnice nad priemerom AB (okrem bodov A a B) je vrcholom pravého uhla trojuholníka ABC.

• veta o výške: na priamke zvolíme body A, P, B tak, aby |AP| = 1 a |PB| = n. Nad AB zostrojíme Talesovu polkružnicu a v bode P kolmicu na AB. Jej priesečník C s polkružnicou dáva |CP| = √(1 · n) = √n;
• veta o odvesne: zvolíme |AB| = n a na AB bod P s |BP| = 1. Kolmica na AB v bode P pretne Talesovu polkružnicu v bode C a |BC| = √(n · 1) = √n.

Riešené príklady