Aritmetická a geometrická postupnosť

Postupnosť je rad čísel zoradených za sebou v presnom poradí. Najdôležitejšie sú dve: aritmetická, v ktorej ďalší člen dostaneme pripočítaním stáleho čísla, a geometrická, v ktorej ďalší člen dostaneme vynásobením stálym číslom. Naučíš sa vypočítať ľubovoľný člen aj súčet prvých n členov a uvidíš, kde sa s postupnosťami stretneš — pri úrokoch, raste populácie či rozpade látok.

Čo je postupnosť

Postupnosť je funkcia, ktorej definičným oborom je množina prirodzených čísel ℕ = {1, 2, 3, …}. Ak je definičným oborom len jej časť {1, 2, …, k}, hovoríme o konečnej postupnosti. Hodnotu postupnosti v čísle n označujeme a_n a nazývame ju n-tý člen postupnosti. Celú postupnosť zapisujeme (a_n)_n=1^∞ alebo stručne (a_n).

Ako môže byť postupnosť zadaná

• Vzorcom pre n-tý člen, napríklad a_n = 2n + 1. Dosadením n = 1, 2, 3, … dostaneme členy 3; 5; 7; 9; … a hneď vieme vypočítať aj vzdialený člen: a₁₀₀ = 2·100 + 1 = 201.
• Rekurentne — zadáme prvý člen (prípadne niekoľko prvých členov) a pravidlo, ako z predchádzajúceho člena vypočítať nasledujúci: a₁ = 3, a_n+1 = a_n + 2. Je to tá istá postupnosť 3; 5; 7; …, ale na výpočet a₁₀₀ by sme potrebovali všetkých 99 predchádzajúcich členov. Známym príkladom je Fibonacciho postupnosť a₁ = a₂ = 1, a_n+2 = a_n+1 + a_n, teda 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …
• Vymenovaním členov — to sa dá len pri konečnej postupnosti, napríklad (2; 4; 6; 8).

Graf postupnosti

Grafom postupnosti je množina izolovaných bodov [n; a_n]. Body nespájame čiarou, lebo medzi n = 1 a n = 2 žiadny člen neexistuje — „člen a_1,5“ nemá zmysel.

Vlastnosti postupností

Postupnosť (a_n) je

• rastúca, ak a_n+1 > a_n pre každé n ∈ ℕ (každý člen je väčší ako predchádzajúci);
• klesajúca, ak a_n+1 < a_n pre každé n ∈ ℕ;
• konštantná, ak a_n+1 = a_n pre každé n ∈ ℕ;
• neklesajúca, ak a_n+1 ≥ a_n, a nerastúca, ak a_n+1 ≤ a_n pre každé n ∈ ℕ.

Postupnosti s niektorou z týchto vlastností nazývame monotónne. Monotónnosť najčastejšie zistíme zo znamienka rozdielu a_n+1 − a_n.

Postupnosť je zhora ohraničená, ak existuje číslo h také, že a_n ≤ h pre každé n ∈ ℕ, a zdola ohraničená, ak existuje číslo k také, že a_n ≥ k pre každé n ∈ ℕ. Postupnosť ohraničená zhora aj zdola je ohraničená.

Napríklad pre a_n = 8 : n je a_n+1 − a_n = 8 : n + 1 − 8 : n = −8 : n(n + 1) < 0, takže postupnosť je klesajúca. Navyše 0 < a_n ≤ 8, preto je ohraničená.

Aritmetická postupnosť

Postupnosť (a_n) je aritmetická, ak existuje také číslo d, že pre každé n ∈ ℕ platí

Číslo d sa nazýva diferencia — je to rozdiel dvoch susedných členov: d = a_n+1 − a_n. Napríklad 1; 3; 5; 7; 9; … je aritmetická postupnosť s a₁ = 1 a d = 2.

n-tý člen

Od a₁ sa k a_n dostaneme tak, že d pripočítame (n − 1)-krát:

Podobne pre ľubovoľné dva členy a_r, a_s (r, s ∈ ℕ) platí

Napríklad a₁₀ = a₄ + 6d. Vzorec pre n-tý člen môžeme upraviť na a_n = d·n + (a₁ − d), čo je lineárna funkcia premennej n. Preto body grafu aritmetickej postupnosti ležia na priamke so smernicou d — pozri Lineárna funkcia.

Každý člen okrem prvého je aritmetickým priemerom svojich susedov: a_n = (a_n−1 + a_n+1) : 2. Odtiaľ pochádza názov postupnosti.

Monotónnosť aritmetickej postupnosti

• d > 0 — postupnosť je rastúca; je zdola ohraničená (a_n ≥ a₁), zhora nie.
• d < 0 — postupnosť je klesajúca; je zhora ohraničená (a_n ≤ a₁), zdola nie.
• d = 0 — postupnosť je konštantná.

Súčet prvých n členov — nápad malého Gaussa

Keď mal Carl Friedrich Gauss asi deväť rokov, učiteľ vraj zadal triede sčítať všetky čísla od 1 do 100, aby mal chvíľu pokoj. Malý Gauss mal výsledok takmer okamžite. Čísla spojil do dvojíc 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, …, 50 + 51. Každá dvojica má súčet 101 a dvojíc je 50, preto

Rovnaký trik funguje pre každú aritmetickú postupnosť. Súčet s_n = a₁ + a₂ + … + a_n napíšeme raz odpredu a raz odzadu a oba zápisy sčítame. Každá dvojica členov „pod sebou“ má rovnaký súčet a₁ + a_n a dvojíc je n, takže 2s_n = n·(a₁ + a_n):

Geometrická postupnosť

Postupnosť (a_n) je geometrická, ak existuje také číslo q, že pre každé n ∈ ℕ platí

Číslo q sa nazýva kvocient. Ak a₁ ≠ 0 a q ≠ 0 (to budeme ďalej predpokladať), sú všetky členy nenulové a kvocient je podiel dvoch susedných členov: q = a_n+1 : a_n. Napríklad 16; 24; 36; 54; 81; … je geometrická postupnosť s a₁ = 16 a q = 1,5.

n-tý člen

Od a₁ sa k a_n dostaneme tak, že (n − 1)-krát násobíme číslom q:

Pre ľubovoľné dva členy a_r, a_s (r, s ∈ ℕ) platí

Pre q > 0 ležia body grafu geometrickej postupnosti na grafe exponenciálnej funkcie y = a₁·q^x−1 — pozri Exponenciálna funkcia. Ak sú všetky členy kladné, je každý člen okrem prvého geometrickým priemerom svojich susedov: a_n = √(a_n−1·a_n+1).

Monotónnosť geometrickej postupnosti

Závisí od kvocientu q aj od znamienka prvého člena (a₁ ≠ 0):

Napríklad pre a₁ = 3 a q = −2 dostaneme 3; −6; 12; −24; 48; … — susedné členy majú vždy opačné znamienka.

Súčet prvých n členov

Súčet s_n = a₁ + a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹ vynásobíme číslom q: q·s_n = a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ. Keď od tejto rovnosti odčítame pôvodnú, takmer všetky členy sa zrušia: q·s_n − s_n = a₁qⁿ − a₁. Odtiaľ pre q ≠ 1 dostaneme

Pre q = 1 sú všetky členy rovnaké, a preto s_n = n·a₁.

Kde sa postupnosti používajú

• Rast o p % — ak veličina každý rok vzrastie o p %, vynásobí sa číslom q = 1 + p : 100, a jej hodnoty tvoria geometrickú postupnosť. Mesto s 20 000 obyvateľmi, ktoré rastie o 2 % ročne, bude mať po 10 rokoch približne 20 000·1,02¹⁰ ≈ 24 380 obyvateľov.
• Pokles o p % — tu je q = 1 − p : 100. Auto za 20 000 €, ktoré každý rok stratí 15 % hodnoty (q = 0,85), bude mať po 5 rokoch hodnotu 20 000·0,85⁵ ≈ 8 874 €.
• Polčas rozpadu — za každý polčas rozpadu sa množstvo rádioaktívnej látky zmenší na polovicu (q = ½). Z 80 mg látky s polčasom rozpadu 8 dní zostane po 8, 16, 24 a 32 dňoch postupne 40; 20; 10 a 5 mg.
• Úrokovanie — pri jednoduchom úrokovaní sa úrok počíta stále z pôvodného vkladu, takže stav účtu každý rok narastie o rovnakú sumu: vznikne aritmetická postupnosť (vklad 1 000 € pri 3 % ročne: 1 000; 1 030; 1 060; … €). Pri zloženom úrokovaní sa úrok pripíše k vkladu a ďalší rok sa úročí aj on: vznikne geometrická postupnosť s q = 1,03 (1 000; 1 030; 1 060,90; 1 092,73; … €). Podrobnejšie v téme Úrokovanie.

Riešené príklady