Sínusová a kosínusová veta

V pravouhlom trojuholníku stačí Pytagorova veta a goniometrické funkcie ostrého uhla. Vo všeobecnom trojuholníku (ostrouhlom aj tupouhlom) pomáhajú dve vety — sínusová a kosínusová. Keď o trojuholníku poznáš tri vhodné údaje, dopočítaš z nich všetky ostatné strany, uhly aj obsah.

Všeobecný trojuholník a jeho označenie

V trojuholníku ABC označujeme strany malými písmenami podľa protiľahlého vrcholu: a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|. Vnútorné uhly pri vrcholoch A, B, C sú α, β, γ. Strana a teda leží oproti uhlu α, strana b oproti uhlu β a strana c oproti uhlu γ.

• Súčet vnútorných uhlov: α + β + γ = 180°.
• Trojuholníková nerovnosť: každá strana je kratšia ako súčet zvyšných dvoch (a < b + c, b < a + c, c < a + b).
• Oproti väčšej strane leží väčší uhol — oproti najdlhšej strane je najväčší uhol.

Pri výpočtoch budeme potrebovať aj sínus a kosínus tupého uhla: sin(180° − x) = sin x a cos(180° − x) = −cos x. Sínus každého uhla trojuholníka je kladný, kosínus tupého uhla je záporný. Pozri aj Goniometrické funkcie.

Sínusová veta

Podiel dĺžky strany a sínusu protiľahlého uhla je v trojuholníku pre všetky tri strany rovnaký a rovná sa priemeru 2r kružnice opísanej trojuholníku. Často sa veta zapisuje aj ako pomer a : b : c = sin α : sin β : sin γ — strany sú v rovnakom pomere ako sínusy protiľahlých uhlov.

Odvodenie cez výšku (náčrt)

Z vrcholu C spustíme výšku v_c na stranu c, jej päta je P. Vzniknú dva pravouhlé trojuholníky APC a BPC.

• v trojuholníku APC: sin α = v_c : b, teda v_c = b·sin α,
• v trojuholníku BPC: sin β = v_c : a, teda v_c = a·sin β.

Porovnaním dostaneme b·sin α = a·sin β a po vydelení súčinom sin α·sin β vyjde a : sin α = b : sin β. Rovnako (s výškou z vrcholu A) sa ukáže b : sin β = c : sin γ. Ak je uhol α alebo β tupý, päta výšky padne mimo strany c, ale vďaka sin(180° − x) = sin x platí ten istý výsledok.

Prečo sa podiel rovná 2r: vrcholom B veďme priemer BD opísanej kružnice. Trojuholník BCD je pravouhlý s pravým uhlom pri C (Tálesova veta) a jeho uhol pri D je obvodový uhol nad tetivou BC — rovnako veľký ako α (pri tupom α vyjde 180° − α s tým istým sínusom). Preto sin α = a : (2r), čiže a : sin α = 2r. Viac o obvodových uhloch: Stredový a obvodový uhol.

Kosínusová veta

Cyklickou zámenou platí aj pre ďalšie dve strany:

Slovami: druhá mocnina strany sa rovná súčtu druhých mocnín zvyšných dvoch strán zmenšenému o dvojnásobný súčin týchto strán a kosínusu uhla, ktorý zvierajú.

Súvis s Pytagorovou vetou

Ak γ = 90°, je cos γ = 0 a posledný člen zmizne: c² = a² + b². Kosínusová veta je teda zovšeobecnením Pytagorovej vety na ľubovoľný trojuholník — člen −2ab·cos γ je „oprava“, o ktorú sa c² líši od a² + b².

Je uhol ostrý, pravý, alebo tupý?

Z kosínusovej vety vyjadríme cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab). Menovateľ je kladný, takže o znamienku kosínusu rozhoduje čitateľ:

• a² + b² > c² ⇒ cos γ > 0 ⇒ γ je ostrý,
• a² + b² = c² ⇒ cos γ = 0 ⇒ γ je pravý,
• a² + b² < c² ⇒ cos γ < 0 ⇒ γ je tupý.

Stačí to overiť pre najdlhšiu stranu — oproti nej leží najväčší uhol a ten rozhoduje, či je trojuholník ostrouhlý, pravouhlý alebo tupouhlý. Napríklad pre strany 4, 5 a 7 je 4² + 5² = 41 < 49 = 7², takže trojuholník je tupouhlý.

Odvodenie (náčrt)

Umiestnime trojuholník do súradnicovej sústavy: C[0; 0], B[a; 0] a A[b·cos γ; b·sin γ]. Podľa vzorca pre vzdialenosť dvoch bodov je

c² = (b·cos γ − a)² + (b·sin γ)² = b²·cos² γ − 2ab·cos γ + a² + b²·sin² γ = a² + b² − 2ab·cos γ,

lebo sin² γ + cos² γ = 1.

Kedy ktorú vetu použiť

Trojuholník je určený tromi vhodnými údajmi, z ktorých aspoň jeden je strana. Podľa toho, čo poznáme, volíme postup:

Jednoduché pravidlo: sínusová veta sa hodí, keď poznáš stranu aj uhol oproti nej. Inak začni kosínusovou vetou. Uhol z troch strán počítaj radšej kosínusovou vetou — sínus nerozlíši ostrý uhol x od tupého 180° − x (majú rovnaký sínus), kosínus áno.

Nejednoznačný prípad ssu

Poznáme strany a, b a uhol α oproti strane a. Zostrojíme uhol α s vrcholom A, na jedno rameno nanesieme dĺžku b a dostaneme bod C. Vrchol B leží na druhom ramene vo vzdialenosti a od bodu C — teda v priesečníku ramena s kružnicou so stredom C a polomerom a. Tá môže rameno pretnúť v dvoch bodoch, dotknúť sa ho, alebo ho vôbec nezasiahnuť.

Výpočtovo: zo sínusovej vety sin β = b·sin α : a. Vzdialenosť bodu C od ramena je výška v = b·sin α. Pre ostrý uhol α:

• a < v (vyjde sin β > 1) — 0 riešení, strana a na rameno „nedosiahne“,
• a = v (sin β = 1) — 1 riešenie, pravouhlý trojuholník s β = 90°,
• v < a < b — 2 riešenia: ostrý uhol β₁ a tupý β₂ = 180° − β₁,
• a ≥ b — 1 riešenie (β₂ by spolu s α dal aspoň 180°).

Ak je α pravý alebo tupý, trojuholník existuje len pre a > b a riešenie je jediné. Pri ssu preto vždy over oba uhly β₁ aj β₂ = 180° − β₁ a ponechaj tie, pre ktoré α + β < 180°. Keď je daný uhol oproti dlhšej zo zadaných strán, riešenie je vždy jediné — to hovorí aj veta Ssu o zhodnosti trojuholníkov.

Obsah trojuholníka

Obsah sa rovná polovici súčinu dvoch strán a sínusu uhla, ktorý zvierajú. Vyplýva to zo vzorca S = ½·a·v_a: výška na stranu a je v_a = b·sin γ (pravouhlý trojuholník s preponou b). Cyklicky platí aj S = ½·b·c·sin α = ½·a·c·sin β. Vzorec platí aj pre tupý uhol, lebo sin(180° − γ) = sin γ.

Využitie v praxi

Vzdialenosť dvoch nedostupných bodov

Body P a Q ležia na druhom brehu rieky a nemôžeme sa k nim dostať. Na svojom brehu vytýčime základňu AB so známou dĺžkou d a z jej koncových bodov zmeriame uhly, pod ktorými vidíme body P a Q.

1. V trojuholníku ABP poznáme stranu d a dva uhly pri nej (usu) — dopočítame uhol pri P a sínusovou vetou vzdialenosť |AP|.
2. Rovnako z trojuholníka ABQ vypočítame |AQ|.
3. V trojuholníku APQ poznáme |AP|, |AQ| a uhol medzi nimi ∠PAQ = ∠BAP − ∠BAQ (sus). Kosínusovou vetou dostaneme hľadanú vzdialenosť |PQ|.

Výška veže, ku ktorej päte sa nedostaneme

Z bodu A vidíme vrchol veže T pod výškovým uhlom α. Priblížime sa k veži o vzdialenosť d do bodu B a vrchol vidíme pod väčším uhlom β.

V trojuholníku ABT poznáme stranu d a uhly α, 180° − β, β − α. Sínusová veta: |BT| : sin α = d : sin(β − α), teda |BT| = d·sin α : sin(β − α). Z pravouhlého trojuholníka BPT je výška veže v = |BT|·sin β.

Napríklad pre d = 50 m, α = 30°, β = 45°: |BT| = 50·sin 30° : sin 15° ≈ 25 : 0,2588 ≈ 96,59 m a v ≈ 96,59·sin 45° ≈ 68,3 m. K výsledku ešte pripočítame výšku prístroja (oka) nad zemou.

Riešené príklady