Matematika3. ročník SŠVektory

Vektory

Vektor opisuje posunutie: hovorí, o koľko a ktorým smerom sa premiestnime. V rovine ho zapíšeme dvoma súradnicami a počítame s ním podobne ako s číslami — vektory sčítavame, odčítavame, násobíme reálnym číslom a pomocou skalárneho súčinu zisťujeme uhol dvoch vektorov aj to, či sú na seba kolmé.

Orientovaná úsečka a vektor

Orientovaná úsečka AB je úsečka, pri ktorej záleží na poradí krajných bodov: A je začiatočný a B koncový bod. Kreslíme ju ako šípku z bodu A do bodu B.

Všetky orientované úsečky, ktoré majú rovnakú dĺžku, ležia na rovnobežných priamkach (alebo na jednej priamke) a sú rovnako orientované, určujú jeden vektor. Každá z nich je umiestnením tohto vektora. Vektor teda nie je pripútaný k jednému miestu — jeho umiestnenie môžeme posunúť kamkoľvek, ak nezmeníme dĺžku, smer ani orientáciu.

Orientované úsečky AB, CD a EF sú tri umiestnenia toho istého vektora u = (3; 2).

Vektory označujeme malými tučnými písmenami u, v, w (v zošite sa namiesto tučného písma kreslí nad písmeno šípka). Vektor, ktorého umiestnením je orientovaná úsečka AB, zapisujeme aj ako B − A.

Nulový vektor o má umiestnenie, v ktorom začiatočný a koncový bod splývajú (A = B). Jeho veľkosť je 0 a nemá určený smer.
Opačný vektor k vektoru u = B − A je vektor −u = A − B. Má rovnakú veľkosť ako u a leží na rovnobežnej priamke, ale má opačnú orientáciu — šípka ukazuje naspäť.

Súradnice vektora

V pravouhlej súradnicovej sústave určíme vektor dvoma číslami: o koľko sa posunieme v smere osi x a o koľko v smere osi y. Ak má začiatočný bod súradnice A[a₁; a₂] a koncový bod B[b₁; b₂], potom

u = B − A = (b₁ − a₁; b₂ − a₂)

Súradnice vektora píšeme do okrúhlych zátvoriek, u = (u₁; u₂), súradnice bodu do hranatých, napríklad A[1; 2]. Súradnice vektora nezávisia od umiestnenia — pre každé jeho umiestnenie vyjdú rovnaké. Ak vektor umiestnime do počiatku O[0; 0], jeho koncový bod má rovnaké súradnice ako samotný vektor.

Nulový vektor: o = (0; 0).
Opačný vektor: −u = (−u₁; −u₂).
Ak poznáme začiatočný bod A a vektor u, koncový bod je B = A + u, t. j. B[a₁ + u₁; a₂ + u₂].

Veľkosť vektora

Veľkosť vektora |u| je dĺžka ktoréhokoľvek jeho umiestnenia. Čísla |u₁| a |u₂| sú dĺžky odvesien pravouhlého trojuholníka, ktorého preponou je umiestnenie vektora, preto podľa Pytagorovej vety

|u| = √(u₁² + u₂²)

Pre vektor u = B − A dostaneme rovnakým vzorcom aj vzdialenosť bodov A, B: |AB| = √((b₁ − a₁)² + (b₂ − a₂)²). Veľkosť vektora je vždy nezáporná a rovná sa 0 len pre nulový vektor.

Vektor s veľkosťou 1 sa nazýva jednotkový vektor, napríklad (1; 0), (0; 1) alebo (0,6; 0,8), lebo √(0,36 + 0,64) = 1.

Súčet a rozdiel vektorov

Vektory sčítavame po súradniciach:

u + v = (u₁ + v₁; u₂ + v₂)

Graficky nájdeme súčet dvoma spôsobmi:

Trojuholníkové pravidlo: umiestnenie vektora v začneme v koncovom bode vektora u. Súčet u + v vedie zo začiatočného bodu vektora u do koncového bodu vektora v.
Rovnobežníkové pravidlo: vektory u a v umiestnime do spoločného začiatočného bodu a doplníme na rovnobežník. Súčet u + v je uhlopriečka rovnobežníka, ktorá vychádza zo spoločného bodu.

trojuholníkové pravidlo

rovnobežníkové pravidlo

rozdiel u − v

Rozdiel vektorov je súčet s opačným vektorom:

u − v = u + (−v) = (u₁ − v₁; u₂ − v₂)

Ak u a v umiestnime do spoločného začiatočného bodu, vektor u − v vedie z koncového bodu vektora v do koncového bodu vektora u — je to druhá uhlopriečka rovnobežníka.

Sčítanie vektorov je komutatívne (u + v = v + u) aj asociatívne ((u + v) + w = u + (v + w)) a platí u + o = u, u + (−u) = o. Pozor: veľkosti vektorov sa vo všeobecnosti nesčítavajú — platí len |u + v| ≤ |u| + |v| (trojuholníková nerovnosť).

Násobok vektora reálnym číslom

k · u = (k · u₁; k · u₂), k ∈ ℝ

|k · u| = |k| · |u| — pri |k| > 1 sa vektor predĺži, pri |k| < 1 skráti.
Pre k > 0 má k · u rovnakú orientáciu ako u, pre k < 0 opačnú.
0 · u = o a (−1) · u = −u (opačný vektor).

Násobky vektora u = (2; 1): 2 · u je dvakrát dlhší, −u má opačnú orientáciu, 0,5 · u má polovičnú veľkosť.

Ak u ≠ o, vektor (1 / |u|) · u je jednotkový a má rovnaký smer aj orientáciu ako u. Napríklad pre u = (3; 4) je |u| = 5 a príslušný jednotkový vektor je (0,6; 0,8).

Kolineárne vektory

Vektory u a v sú kolineárne, ak je jeden z nich násobkom druhého, napríklad v = k · u. Ich umiestnenia ležia na rovnobežných priamkach (alebo na jednej priamke). Pri k > 0 sú súhlasne orientované, pri k < 0 nesúhlasne orientované. Nulový vektor je kolineárny s každým vektorom, lebo o = 0 · u.

V súradniciach: nenulové vektory sú kolineárne práve vtedy, keď sú ich súradnice úmerné, t. j. u₁ · v₂ − u₂ · v₁ = 0. Napríklad vektory (2; −3) a (−4; 6) sú kolineárne a nesúhlasne orientované, lebo (−4; 6) = −2 · (2; −3).

Skalárny súčin a uhol dvoch vektorov

Uhol dvoch nenulových vektorov u, v je uhol, ktorý zvierajú ich umiestnenia so spoločným začiatočným bodom. Je to vždy uhol φ, pre ktorý platí 0° ≤ φ ≤ 180°.

Uhol φ vektorov u a v umiestnených do spoločného bodu O.

Skalárny súčin vektorov u = (u₁; u₂) a v = (v₁; v₂) je číslo (nie vektor):

u · v = u₁ · v₁ + u₂ · v₂

Pre nenulové vektory platí zároveň

u · v = |u| · |v| · cos φ

a z toho vypočítame uhol vektorov:

cos φ = u · v|u| · |v|

O veľkosti uhla rozhoduje znamienko skalárneho súčinu:

u · v > 0 ⇔ 0° ≤ φ < 90° (uhol je ostrý alebo nulový),
u · v = 0 ⇔ φ = 90° — vektory sú kolmé, píšeme u ⊥ v,
u · v < 0 ⇔ 90° < φ ≤ 180° (uhol je tupý alebo priamy).

Uhol φ = 0° zvierajú súhlasne orientované kolineárne vektory, uhol φ = 180° nesúhlasne orientované kolineárne vektory. Ďalej platí u · u = u₁² + u₂² = |u|². K vektoru (u₁; u₂) je kolmý napríklad vektor (−u₂; u₁), lebo u₁ · (−u₂) + u₂ · u₁ = 0.

Riešené príklady

Príklad 1 (súradnice a veľkosť vektora): Dané sú body A[1; 2] a B[4; −2]. Urč súradnice a veľkosť vektora u = B − A a súradnice opačného vektora.

Súradnice („koniec mínus začiatok“): u = B − A = (4 − 1; −2 − 2) = (3; −4)
Veľkosť: |u| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Opačný vektor: −u = A − B = (−3; 4)
Jednotkový vektor s rovnakým smerom aj orientáciou: (1/5) · u = (0,6; −0,8)

Vzdialenosť bodov A a B je teda |AB| = 5.

Príklad 2 (súčet a násobok): Dané sú vektory u = (2; −1) a v = (−3; 4). Vypočítaj u + v, 3 · u a 3 · u − 2 · v.

Súčet: u + v = (2 + (−3); −1 + 4) = (−1; 3)
Násobok: 3 · u = (3 · 2; 3 · (−1)) = (6; −3)
Druhý násobok: 2 · v = (2 · (−3); 2 · 4) = (−6; 8)
Rozdiel násobkov: 3 · u − 2 · v = (6 − (−6); −3 − 8) = (12; −11)
Veľkosť súčtu: |u + v| = √((−1)² + 3²) = √10 ≈ 3,16
Súčet veľkostí: |u| + |v| = √5 + 5 ≈ 7,24

Veľkosť súčtu sa teda nerovná súčtu veľkostí.

Príklad 3 (uhol vektorov a kolmosť): a) Urč uhol vektorov u = (1; 3) a v = (4; 2). b) Urč číslo a tak, aby vektor w = (a; 2) bol kolmý na vektor u.

Skalárny súčin: u · v = 1 · 4 + 3 · 2 = 10
Veľkosti: |u| = √(1 + 9) = √10, |v| = √(16 + 4) = √20
Kosínus uhla: cos φ = 10 / (√10 · √20) = 10 / √200 = 10 / (10√2) = √2 / 2
Uhol: φ = 45°
b) Kolmé vektory majú nulový skalárny súčin: u · w = 1 · a + 3 · 2 = a + 6
Riešime rovnicu: a + 6 = 0 ⇒ a = −6
Skúška: (1; 3) · (−6; 2) = −6 + 6 = 0 ✓

Vektory u a v zvierajú uhol 45° a na vektor u je kolmý vektor w = (−6; 2).

🧠 Zapamätaj si

u = B − A = (b₁ − a₁; b₂ − a₂) — „koniec mínus začiatok“.
|u| = √(u₁² + u₂²); nulový vektor o = (0; 0) má veľkosť 0.
Sčítavame a násobíme po súradniciach: u + v = (u₁ + v₁; u₂ + v₂), k · u = (k · u₁; k · u₂).
Kolineárne vektory: v = k · u; záporné k znamená opačnú orientáciu.
Skalárny súčin je číslo: u · v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u| · |v| · cos φ, kde 0° ≤ φ ≤ 180°.
Nenulové vektory sú na seba kolmé práve vtedy, keď u · v = 0.

Vyskúšaj si to — vektory v súradnicovej sústave

Ťahaj krúžky na koncoch vektorov u a v myšou alebo prstom, alebo zadaj ich súradnice. Výsledky sa prepočítajú hneď.

Čo chceš zobraziť?

Súčet u + v

Rozdiel u − v

Násobok k · u

Skalárny súčin a uhol

Vektor u

u₁

u₂

Vektor v

v₁

v₂

Prichytávať koncové body na celočíselnú mriežku