Goniometrické funkcie

Sínus, kosínus a tangens poznáš z pravouhlého trojuholníka, kde majú zmysel len pre ostré uhly. Pomocou jednotkovej kružnice ich rozšírime na ľubovoľný uhol — tupý, väčší ako 360° aj záporný — a nakreslíme ich grafy.

Orientovaný uhol

V goniometrii si uhol predstavujeme ako otočenie polpriamky okolo jej začiatku: z počiatočného ramena do koncového ramena. Takýto uhol voláme orientovaný uhol. Jeho vrchol umiestnime do začiatku sústavy súradníc O[0; 0] a počiatočné rameno na kladnú polos x.

• Otáčanie proti smeru hodinových ručičiek dáva kladný uhol, otáčanie v smere hodinových ručičiek záporný uhol.
• Po celej otočke (360°) je rameno opäť v rovnakej polohe. Jedno koncové rameno preto patrí nekonečne veľa uhlom α + k · 360°, k ∈ ℤ. Napríklad uhly 40°, 400° aj −320° majú rovnaké koncové rameno.
• Veľkosť z intervalu ⟨0°; 360°) nazývame základná veľkosť orientovaného uhla.

Stupňová a oblúková miera

V stupňovej miere má plný uhol 360°. V oblúkovej miere meriame uhol dĺžkou oblúka: nakreslíme kružnicu so stredom vo vrchole uhla a veľkosť uhla je podiel dĺžky oblúka l, ktorý uhol na kružnici vytne, a polomeru r (α = l / r). Jednotkou je radián (rad) — stredový uhol, ktorému prislúcha oblúk rovnako dlhý ako polomer.

Obvod kružnice je 2πr, preto má plný uhol 2π rad a priamy uhol π rad:

• stupne → radiány: vynásob číslom π / 180, napríklad 60° = 60 · π/180 = π/3,
• radiány → stupne: vynásob 180° / π, napríklad 5π/6 = 5π/6 · 180°/π = 150°,
• 1° = π/180 rad ≈ 0,0175 rad a 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°.

Jednotku rad pri zápise zvyčajne vynechávame: namiesto π/2 rad píšeme len π/2. Najčastejšie uhly:

• 0° = 0
• 30° = π/6
• 45° = π/4
• 60° = π/3
• 90° = π/2
• 120° = 2π/3
• 135° = 3π/4
• 150° = 5π/6
• 180° = π
• 270° = 3π/2
• 360° = 2π

Jednotková kružnica, sínus a kosínus

Jednotková kružnica má stred v začiatku sústavy súradníc O[0; 0] a polomer 1. Koncové rameno orientovaného uhla α ju pretne v jedinom bode P. Súradnice tohto bodu sú hodnoty kosínusu a sínusu uhla α:

• cos α je x-ová súradnica bodu P,
• sin α je y-ová súradnica bodu P.

Pre ostrý uhol dostaneme to isté ako v pravouhlom trojuholníku: trojuholník s vrcholmi O, P a pätou kolmice z bodu P na os x má preponu OP = 1, preto sin α = protiľahlá odvesna / prepona = y a cos α = priľahlá odvesna / prepona = x. Nová definícia však funguje pre každý uhol.

Bod P leží na kružnici s polomerom 1, preto jeho súradnice nikdy nie sú menšie ako −1 ani väčšie ako 1:

Tangens a kotangens

Tangens je definovaný len vtedy, keď cos α ≠ 0, teda pre α ≠ 90° + k · 180° (v radiánoch α ≠ π/2 + kπ), k ∈ ℤ. Napríklad pre uhly 90° a 270° tangens neexistuje.

Aj tangens vidno na jednotkovej kružnici. Nakreslíme dotyčnicu kružnice v bode [1; 0], teda priamku x = 1. Priamka OP ju pretne v bode T[1; tg α] — tg α je y-ová súradnica bodu T. Ak je cos α = 0, priamka OP je s dotyčnicou rovnobežná a bod T neexistuje. Zapni si to v interaktívnej kružnici nižšie.

Kotangens je podiel v opačnom poradí: cotg α = cos α / sin α. Je definovaný pre α ≠ k · 180°, teda keď sin α ≠ 0. Ak existujú tg α aj cotg α, platí tg α · cotg α = 1.

Znamienka v kvadrantoch

Znamienko sínusu a kosínusu závisí len od toho, v ktorom kvadrante leží bod P. Tangens je podiel sin α / cos α, preto je kladný tam, kde majú sínus a kosínus rovnaké znamienko.

Ľahko zapamätateľné: v I. kvadrante sú kladné všetky, v II. len sínus, v III. len tangens (a kotangens) a vo IV. len kosínus. Uhly 0°, 90°, 180° a 270° neležia v žiadnom kvadrante — ich koncové rameno leží na osi.

Hodnoty pre významné uhly

Pomôcka: sínus uhlov 0°, 30°, 45°, 60°, 90° má postupne hodnoty √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, teda 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Kosínus má tie isté hodnoty v opačnom poradí.

Ďalšie hodnoty vyčítame z polohy bodu P na osiach: pre 180° je P[−1; 0], preto sin 180° = 0 a cos 180° = −1; pre 270° je P[0; −1], preto sin 270° = −1 a cos 270° = 0.

Prevod na ostrý uhol

Ak koncové rameno uhla α leží v II., III. alebo IV. kvadrante, zviera s osou x ostrý uhol β. Bod P je súmerne združený s bodom, ktorý prislúcha uhlu β (podľa osi y, podľa začiatku O alebo podľa osi x), preto sa ich súradnice líšia nanajvýš znamienkom. Hodnotu teda vypočítame pomocou ostrého uhla β a znamienko určíme podľa kvadrantu:

Postup: ak uhol neleží v ⟨0°; 360°), najprv pripočítaj alebo odpočítaj vhodný násobok 360°. Potom urči kvadrant (a tým znamienko), nájdi ostrý uhol β a použi hodnotu pre β. Napríklad:

• sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2
• cos 225° = cos(180° + 45°) = −cos 45° = −√2/2
• tg 300° = tg(360° − 60°) = −tg 60° = −√3

Vzťah sin² α + cos² α = 1

Platí pre každý uhol α. Bod P[cos α; sin α] má od začiatku O vzdialenosť 1, takže podľa Pytagorovej vety je (cos α)² + (sin α)² = 1². Zápis sin² α znamená (sin α)².

Vďaka tomuto vzťahu z jednej hodnoty dopočítame druhú — znamienko určí kvadrant. Ak napríklad sin α = 3/5 a α leží v II. kvadrante, tak cos² α = 1 − 9/25 = 16/25, teda cos α = 4/5 alebo cos α = −4/5. V II. kvadrante je kosínus záporný, preto cos α = −4/5 a tg α = (3/5) / (−4/5) = −3/4.

Periodicita

Ak k uhlu pripočítame celočíselný násobok 360° (teda 2π), koncové rameno ani bod P sa nezmenia. Preto pre každé k ∈ ℤ platí:

Sínus a kosínus sú periodické funkcie s najmenšou periódou 2π (360°).

Tangens má najmenšiu periódu π (180°): uhol α + 180° má opačné koncové rameno, bod P sa zmení na bod s ním súmerný podľa začiatku [−cos α; −sin α] a podiel sínusu a kosínusu sa nezmení. Teda tg(α + kπ) = tg α.

• sin 390° = sin(30° + 360°) = sin 30° = 1/2
• cos(7π/3) = cos(π/3 + 2π) = cos(π/3) = 1/2
• tg 225° = tg(45° + 180°) = tg 45° = 1

Grafy funkcií y = sin x a y = cos x

Ak uhol meriame v radiánoch, jeho veľkosť je reálne číslo. Funkcia sínus priraďuje každému reálnemu číslu x hodnotu sin x, funkcia kosínus hodnotu cos x. Grafom funkcie y = sin x je sínusoida, grafom funkcie y = cos x kosínusoida.

Všade k ∈ ℤ. Párnosť vidno aj na jednotkovej kružnici: uhlu −α prislúcha bod súmerný s bodom P podľa osi x, teda [cos α; −sin α]. Kosínusoida má rovnaký tvar ako sínusoida, je len posunutá o π/2 doľava.

Graf funkcie y = tg x

• D(f) = všetky reálne čísla okrem π/2 + kπ, k ∈ ℤ (tam je cos x = 0); H(f) = ℝ.
• Najmenšia perióda je π; funkcia je nepárna: tg(−x) = −tg x.
• Nulové body sú x = kπ; na každom intervale (−π/2 + kπ; π/2 + kπ) je funkcia rastúca.
• Graf sa neobmedzene približuje k priamkam x = π/2 + kπ (asymptoty), ale nikdy ich nepretne.

Riešené príklady

Hodnoty z príkladov si môžeš overiť v interaktívnej kružnici: nastav uhol 150° alebo 210°.