Goniometrické rovnice
Goniometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma v argumente goniometrickej funkcie — napríklad sin x = 1/2 alebo 2·cos2x + 3·sin x − 3 = 0. Keďže goniometrické funkcie sú periodické, taká rovnica buď nemá žiadne riešenie, alebo ich má nekonečne veľa. Nájdeme ich pomocou jednotkovej kružnice, grafu a tabuľky presných hodnôt.
Téma nadväzuje na Goniometrické funkcie a Grafy goniometrických funkcií.
Čo potrebujeme vedieť vopred
- Uhlu x zodpovedá na jednotkovej kružnici (stred v začiatku O[0; 0], polomer 1) bod so súradnicami [cos x; sin x]. Kosínus je x-ová a sínus y-ová súradnica tohto bodu.
- tg x = sin x / cos x, pričom musí platiť cos x ≠ 0, t. j. x ≠ π/2 + kπ.
- Obor hodnôt: sínus aj kosínus nadobúdajú len hodnoty z intervalu ⟨−1; 1⟩, tangens ľubovoľné reálne číslo.
- Perióda: sínus a kosínus majú periódu 2π (360°), tangens π (180°).
- Prevod jednotiek: π rad = 180°, napríklad π/6 = 30°, π/4 = 45°, π/3 = 60°.
Tabuľka presných hodnôt
| x (°) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| x (rad) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tg x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | nie je def. |
Pri riešení rovníc využijeme súmernosť jednotkovej kružnice:
- sin(π − x) = sin x — body súmerné podľa osi y majú rovnaký sínus,
- cos(2π − x) = cos x — body súmerné podľa osi x majú rovnaký kosínus,
- tg(x + π) = tg x — protiľahlé body kružnice majú rovnaký tangens.
Znamienka: sínus je kladný v I. a II. kvadrante, kosínus v I. a IV. kvadrante, tangens v I. a III. kvadrante.
Rovnica sin x = a
Hľadáme všetky uhly x, ktorých bod na jednotkovej kružnici má y-ovú súradnicu a. Nakreslíme vodorovnú priamku y = a:
- |a| > 1 — priamka kružnicu nepretína, rovnica nemá riešenie (K = ∅).
- |a| < 1 — dva priesečníky, v intervale ⟨0; 2π) sú dve riešenia: x₀ a π − x₀.
- a = ±1 — priamka sa kružnice dotýka, jedno riešenie: π/2 pre a = 1, 3π/2 pre a = −1.
Číslo x₀ je jedno riešenie — pri tabuľkových hodnotách ho prečítame z tabuľky, inak ho určí kalkulačka (tlačidlo sin−1), ktorá vráti x₀ z intervalu ⟨−π/2; π/2⟩.
Rovnica cos x = a
Teraz hľadáme body kružnice s x-ovou súradnicou a, preto nakreslíme zvislú priamku x = a:
- |a| > 1 — rovnica nemá riešenie.
- |a| < 1 — v intervale ⟨0; 2π) sú dve riešenia: x₀ a 2π − x₀ (body súmerné podľa osi x).
- a = 1 — jediné riešenie x = 0; a = −1 — jediné riešenie x = π.
Skrátene x = ±x₀ + 2kπ. Kalkulačka (cos−1) vráti x₀ z intervalu ⟨0; π⟩.
Rovnica tg x = a
Tangens nadobúda každú reálnu hodnotu, preto má rovnica tg x = a riešenie pre každé a ∈ R.
Geometricky: na dotyčnici ku kružnici v bode [1; 0], t. j. na priamke x = 1, vyznačíme bod T[1; a]. Priamka OT pretne kružnicu v dvoch protiľahlých bodoch — ich uhly sú x₀ a x₀ + π.
Pri tangense stačí jedna „rodina" riešení, lebo jeho perióda je π. Kalkulačka (tg−1) vráti x₀ z intervalu (−π/2; π/2). Nezabudni na podmienku cos x ≠ 0.
Zhrnutie a zápis v stupňoch
| rovnica | riešenia v ⟨0; 2π) | všeobecné riešenie, k ∈ Z |
|---|---|---|
| sin x = a, |a| < 1 | x₀; π − x₀ | x₀ + 2kπ; π − x₀ + 2kπ |
| cos x = a, |a| < 1 | x₀; 2π − x₀ | ±x₀ + 2kπ |
| tg x = a, a ∈ R | x₀; x₀ + π | x₀ + kπ |
| sin x = 0 | 0; π | kπ |
| sin x = 1 | π/2 | π/2 + 2kπ |
| sin x = −1 | 3π/2 | 3π/2 + 2kπ |
| cos x = 0 | π/2; 3π/2 | π/2 + kπ |
| cos x = 1 | 0 | 2kπ |
| cos x = −1 | π | π + 2kπ |
V stupňoch nahradíme 2kπ výrazom k·360° a kπ výrazom k·180°: napríklad x = π/6 + 2kπ je to isté ako x = 30° + k·360°. V jednom zápise nemiešaj radiány so stupňami (nie 30° + 2kπ).
Rovnice s lineárnym argumentom
Ak je v argumente výraz b·x (napr. sin(2x)), zavedieme substitúciu t = b·x, vyriešime základnú rovnicu pre t a potom sa vrátime k x. Vydelíme pritom aj periódu.
Príklad sin(2x) = 1/2:
- t = 2x: sin t = 1/2, teda t = π/6 + 2kπ alebo t = 5π/6 + 2kπ,
- späť x = t/2: x = π/12 + kπ alebo x = 5π/12 + kπ,
- v ⟨0; 2π): pre k = 0 π/12; 5π/12, pre k = 1 13π/12; 17π/12.
Rovnica má v ⟨0; 2π) až štyri riešenia — funkcia sin(2x) má periódu π, na intervale dĺžky 2π teda prebehne dve periódy. Vo všeobecnosti má sin(b·x) aj cos(b·x) periódu 2π/b a tg(b·x) periódu π/b.
Rovnice riešené substitúciou
Ak je v rovnici tá istá goniometrická funkcia v druhej aj v prvej mocnine, zavedieme substitúciu t = sin x (alebo cos x, tg x) a vyriešime kvadratickú rovnicu. Pri sínuse a kosínuse potom vyradíme korene mimo intervalu ⟨−1; 1⟩ — tie riešenie nedávajú.
Príklad 2·sin2x − sin x − 1 = 0:
- t = sin x: 2t2 − t − 1 = 0, D = 1 + 8 = 9,
- t₁ = (1 + 3)/4 = 1, t₂ = (1 − 3)/4 = −1/2 — oba ležia v ⟨−1; 1⟩,
- sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ,
- sin x = −1/2 ⇒ x = 7π/6 + 2kπ alebo x = 11π/6 + 2kπ (sínus je záporný v III. a IV. kvadrante: π + π/6 a 2π − π/6).
Keby vyšlo napríklad t = −2 (pri rovnici sin2x + sin x − 2 = 0 sú korene t₁ = 1, t₂ = −2), koreň −2 vyradíme, lebo sin x ≥ −1.
Ak rovnica obsahuje sínus aj kosínus, často pomôže vzťah sin2x + cos2x = 1. Napríklad v rovnici 2·cos2x + 3·sin x − 3 = 0 dosadíme cos2x = 1 − sin2x:
- 2·(1 − sin2x) + 3·sin x − 3 = 0,
- −2·sin2x + 3·sin x − 1 = 0, po vynásobení číslom −1:
- 2·sin2x − 3·sin x + 1 = 0 — túto rovnicu riešime v príklade 3 nižšie.
Skúška a pozor na delenie
Rovnicu nedeľ výrazom, ktorý môže byť nulový (napr. sin x alebo cos x) — stratil by si riešenia. Radšej ho vyber pred zátvorku a využi, že súčin je nulový práve vtedy, keď je nulový niektorý činiteľ.
Rovnica sin x · cos x = sin x
✗ Nesprávne: vydelíme sin x ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 2kπ. Stratili sme napríklad x = π: sin π · cos π = 0 · (−1) = 0 = sin π.
✓ Správne: sin x · cos x − sin x = 0, sin x · (cos x − 1) = 0, teda sin x = 0 alebo cos x = 1. Z toho x = kπ alebo x = 2kπ; druhé riešenia sú už medzi prvými, preto x = kπ, k ∈ Z.
Deliť smieme len vtedy, keď overíme, že deliteľ v riešení nemôže byť nulový. Napríklad pri sin x = cos x: keby cos x = 0, bolo by sin x = ±1 ≠ 0, takže cos x ≠ 0 a smieme deliť: tg x = 1, x = π/4 + kπ.
Skúška: keď rovnicu upravujeme neekvivalentne (umocnenie, násobenie výrazom s neznámou), dosadíme riešenia do pôvodnej rovnice. Pri rovniciach s tangensom over aj podmienku cos x ≠ 0. Vďaka periodicite stačí skúška pre riešenia z jednej periódy.
Riešené príklady
- Z tabuľky: sin π/6 = 1/2, teda x₀ = π/6 (30°).
- Druhý bod kružnice s y-ovou súradnicou 1/2 je súmerný podľa osi y: π − π/6 = 5π/6 (150°).
- Všeobecné riešenie: x = π/6 + 2kπ alebo x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z.
- V stupňoch: x = 30° + k·360° alebo x = 150° + k·360°.
- Množina riešení: K = ⋃k∈Z {π/6 + 2kπ; 5π/6 + 2kπ}.
- Substitúcia t = 2x. Pre x ∈ ⟨0; 2π) je t ∈ ⟨0; 4π).
- Z tabuľky cos π/4 = √2/2. Kosínus je záporný v II. a III. kvadrante: t = π − π/4 = 3π/4, t = π + π/4 = 5π/4.
- Všeobecne: t = 3π/4 + 2kπ alebo t = 5π/4 + 2kπ.
- Späť x = t/2: x = 3π/8 + kπ alebo x = 5π/8 + kπ.
- Pre k = 0: 3π/8; 5π/8, pre k = 1: 11π/8; 13π/8; pre k = 2 už x ≥ 2π.
- K = {3π/8; 5π/8; 11π/8; 13π/8}, v stupňoch 67,5°; 112,5°; 247,5°; 292,5°.
- Substitúcia t = sin x: 2t² − 3t + 1 = 0.
- D = 9 − 8 = 1, t₁ = (3 + 1)/4 = 1, t₂ = (3 − 1)/4 = 1/2. Oba korene ležia v ⟨−1; 1⟩.
- sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ.
- sin x = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2kπ alebo x = 5π/6 + 2kπ.
- Skúška pre x = π/2: 2·1 − 3·1 + 1 = 0 ✓; pre x = π/6: 2·1/4 − 3·1/2 + 1 = 0 ✓.
- K = ⋃k∈Z {π/6 + 2kπ; π/2 + 2kπ; 5π/6 + 2kπ}; v ⟨0; 2π) sú to π/6; π/2; 5π/6.
🧠 Zapamätaj si
- sin x = a a cos x = a majú riešenie len pre |a| ≤ 1; tg x = a má riešenie pre každé a.
- V ⟨0; 2π): sínus x₀ a π − x₀, kosínus x₀ a 2π − x₀, tangens x₀ a x₀ + π.
- Všeobecné riešenie: pri sin a cos pripočítaj 2kπ (k·360°), pri tg kπ (k·180°), k ∈ Z.
- Argument b·x: substitúcia t = b·x a na konci vydeľ b aj periódu — v ⟨0; 2π) pribudnú riešenia.
- Kvadratický tvar: substitúcia t = sin x (cos x, tg x), korene mimo ⟨−1; 1⟩ pri sin a cos vyraď.
- Nedeľ výrazom, ktorý môže byť 0 — vyber ho pred zátvorku.
Vyskúšaj si to — riešiteľ goniometrických rovníc
Zvoľ funkciu f, koeficient b a hodnotu a. Rovnicu f(b·x) = a vyriešime v intervale ⟨0; 2π) aj všeobecne. Hodnotu a môžeš meniť aj ťahaním oranžového bodu na kružnici.
sin x = 1/2
- graf funkcie
- priamka y = a
- riešenie v ⟨0; 2π)
- ďalšie riešenia (perióda)
- asymptoty