Exponenciálna funkcia

Exponenciálna funkcia má premennú v exponente: y = a^x. Opisuje deje, pri ktorých sa hodnota za rovnako dlhý čas zmení vždy rovnakým násobkom — rast úspor v banke, rast populácie aj rozpad rádioaktívnej látky.

Pripomenutie: počítanie s mocninami

Pre kladné čísla a, b a ľubovoľné reálne exponenty r, s platí:

V poslednom pravidle je m celé číslo a n prirodzené číslo, n ≥ 2. Napríklad:

• záporný exponent: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8,  (1/3)⁻² = 3² = 9
• racionálny exponent: 8^2/3 = ³√8² = ³√64 = 4,  4^0,5 = 4^1/2 = √4 = 2

Mocninu s kladným základom vieme definovať pre každý reálny exponent, aj iracionálny — napríklad 2^√2 ≈ 2,665 dostaneme ako hodnotu, ku ktorej sa blížia mocniny 2^1,4, 2^1,41, 2^1,414, … Preto môže exponent x prebiehať všetky reálne čísla.

Definícia exponenciálnej funkcie

Funkcia daná predpisom y = a^x, kde a je kladné reálne číslo rôzne od 1, sa nazýva exponenciálna funkcia so základom a.

• Prečo a > 0? Pre záporný základ by mocnina nebola definovaná pre všetky x — napr. (−4)^1/2 = √−4 nie je reálne číslo. Pre a = 0 nemá zmysel napr. 0⁻¹ = 1/0.
• Prečo a ≠ 1? 1^x = 1 pre každé x, takže y = 1 je konštantná funkcia, nie exponenciálna.

Pozor na rozdiel: pri mocninovej funkcii (napr. y = x²) je premenná v základe, pri exponenciálnej funkcii (napr. y = 2^x) je premenná v exponente.

Graf a vlastnosti

Graf exponenciálnej funkcie sa nazýva exponenciála. Pre každé a > 0, a ≠ 1 platí:

• definičný obor D(f) = ℝ, obor hodnôt H(f) = (0; ∞) — hodnoty sú vždy kladné, a^x > 0;
• graf prechádza bodom [0; 1] (lebo a⁰ = 1) a bodom [1; a];
• funkcia je prostá — rôznym číslam x zodpovedajú rôzne hodnoty y;
• je zdola ohraničená (všetky hodnoty sú väčšie ako 0), zhora ohraničená nie je;
• nemá maximum ani minimum — hodnoty sa k nule ľubovoľne blížia, no nikdy ju nedosiahnu;
• os x (priamka y = 0) je asymptota grafu: graf sa k nej neobmedzene približuje, ale nepretne ju ani sa jej nedotkne.

Podľa základu sa líši monotónnosť:

Súmernosť: keďže (1/a)^x = a^−x, grafy funkcií y = a^x a y = (1/a)^x sú súmerné podľa osi y — hodnota jednej funkcie v bode x sa rovná hodnote druhej funkcie v bode −x.

Ako sa tvar grafu mení so základom a, si vyskúšaj nižšie v interaktívnom grafe.

Exponenciálne rovnice

Exponenciálna rovnica má neznámu v exponente. Keďže exponenciálna funkcia je prostá, z rovnosti a^r = a^s vyplýva r = s. Jednoduché rovnice preto riešime tak, že obe strany zapíšeme ako mocniny s rovnakým základom a porovnáme exponenty.

1. 2^x+1 = 8
   2^x+1 = 2³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2,  K = {2}
2. 3^x = 1/9
   3^x = 3⁻² ⇒ x = −2,  K = {−2}
3. 4^x = 2^x+3
   (2²)^x = 2^x+3 ⇒ 2^2x = 2^x+3 ⇒ 2x = x + 3 ⇒ x = 3,  K = {3}
   Skúška: 4³ = 64 a 2³⁺³ = 2⁶ = 64.

Rovnica 2^x = 5 má tiež práve jedno riešenie (číslo 5 patrí do oboru hodnôt a funkcia je prostá), ale 5 nevieme zapísať ako mocninu čísla 2 s „pekným“ exponentom. Z 2² = 4 < 5 < 8 = 2³ vieme len to, že 2 < x < 3. Presne sa takéto rovnice riešia pomocou logaritmu — to je samostatná téma.

Rovnica 2^x = −4 nemá riešenie, lebo a^x > 0 pre každé x: K = ∅.

Exponenciálny rast a pokles v praxi

Ak sa nejaká veličina za každé obdobie (rok, deň, hodinu…) zmení vždy rovnakým násobkom q, po t obdobiach má hodnotu

Pri zmene o p % za obdobie je q = 1 + p/100. Pri raste je p > 0, teda q > 1; pri poklese je p < 0, teda 0 < q < 1. Závislosť N(t) je exponenciálna funkcia so základom q vynásobená číslom N₀.

Zložené úrokovanie

Banka pripíše na konci každého roka úrok p % a v ďalšom roku sa úročí už aj pripísaný úrok („úrok z úroku“). Z vkladu N₀ je po t rokoch N(t) = N₀·(1 + p/100)^t. Daň z úrokov tu neuvažujeme.

Rast populácie

Ak mesto s 20 000 obyvateľmi rastie o 2 % ročne, po t rokoch má N(t) = 20 000·1,02^t obyvateľov — po 10 rokoch približne 24 380. Kolónia baktérií, ktorá sa každú hodinu zdvojnásobí, má po t hodinách N(t) = N₀·2^t baktérií.

Rádioaktívny rozpad

Polčas rozpadu T je čas, za ktorý sa rozpadne polovica jadier rádioaktívnej látky — zostane jej polovica. Po čase t zostane

Aj to je tvar N₀·q^t, lebo (1/2)^t/T = ((1/2)^1/T)^t, teda q = (1/2)^1/T. Napríklad jód-131 má polčas rozpadu približne 8 dní: z 80 mg po 24 dňoch zostane 80·(1/2)^24/8 = 80·(1/2)³ = 10 mg.

Riešené príklady