Stredový a obvodový uhol

Keď dva body kružnice spojíme so stredom, vznikne stredový uhol; keď ich spojíme s ďalším bodom kružnice, vznikne obvodový uhol. Medzi nimi platí jednoduchý vzťah — obvodový uhol je polovicou stredového. Z neho vyplýva aj Talesova veta, vďaka ktorej vieme zostrojiť pravý uhol aj dotyčnice ku kružnici.

Kružnica, kruh a ich časti

Kružnica k so stredom S a polomerom r, zapisujeme k(S; r), je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od bodu S vzdialenosť r.

Kruh K(S; r) je množina všetkých bodov roviny, ktorých vzdialenosť od bodu S je menšia alebo rovná r — tvorí ho kružnica spolu s celou jej vnútornou časťou.

• Tetiva je úsečka, ktorej krajné body ležia na kružnici (na obrázku AB).
• Priemer je tetiva, ktorá prechádza stredom S (na obrázku CD). Je to najdlhšia tetiva kružnice, jej dĺžka je d = 2r.
• Oblúk je časť kružnice medzi dvoma jej bodmi. Body A, B rozdelia kružnicu na dva oblúky — menší a väčší. Ak je AB priemer, oba oblúky sú polkružnice.

Stredový uhol

Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol je stred S kružnice a ramená prechádzajú krajnými bodmi A, B oblúka. Hovoríme, že stredový uhol ASB prislúcha k oblúku AB, ktorý leží v jeho vnútri.

• K menšiemu oblúku AB prislúcha konvexný stredový uhol (menší ako 180°), k väčšiemu oblúku nekonvexný stredový uhol (väčší ako 180°). Spolu majú 360°.
• Ak je AB priemer, stredový uhol ASB je priamy — má 180°.

Obvodový uhol

Obvodový uhol je uhol AVB, ktorého vrchol V leží na kružnici (V ≠ A, V ≠ B) a ramená prechádzajú krajnými bodmi tetivy AB. Prislúcha k tomu oblúku AB, ktorý leží v jeho vnútri — teda k oblúku, na ktorom bod V neleží.

Úsekový uhol

Úsekový uhol zviera tetiva AB s dotyčnicou kružnice v bode A. Aj on prislúcha k oblúku AB, ktorý leží v jeho vnútri, a má rovnakú veľkosť ako obvodový uhol nad týmto oblúkom (je teda polovicou príslušného stredového uhla). Úsekový uhol si môžeš predstaviť ako krajnú polohu obvodového uhla, keď vrchol V „dobehne" až do bodu A.

Veta o obvodovom a stredovom uhle

Veľkosť obvodového uhla sa rovná polovici veľkosti stredového uhla, ktorý prislúcha k tomu istému oblúku: |∡AVB| = |∡ASB| : 2. Z tejto vety vyplýva:

• Všetky obvodové uhly nad tým istým oblúkom sú zhodné — nezáleží na tom, kde na druhom oblúku leží vrchol V.
• Obvodový uhol je ostrý nad menším oblúkom, pravý nad polkružnicou a tupý nad väčším oblúkom.
• Obvodové uhly nad opačnými oblúkmi AB (vrcholy ležia na rôznych oblúkoch) majú spolu 180°: ich stredové uhly majú spolu 360°, ich polovice teda 180°.
• Tetivový štvoruholník je štvoruholník, ktorého všetky vrcholy ležia na kružnici. Jeho protiľahlé uhly sú obvodové uhly nad opačnými oblúkmi, preto α + γ = 180° a β + δ = 180°.

Prečo to platí — náčrt dôkazu

Prípad 1 — stred S leží na ramene obvodového uhla (VB je priemer). Trojuholník AVS je rovnoramenný, lebo |SV| = |SA| = r. Uhly pri jeho základni AV sú zhodné: |∡SVA| = |∡SAV| = α. Uhol ASB je vonkajší uhol tohto trojuholníka pri vrchole S a vonkajší uhol sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných dvoch vrcholoch: |∡ASB| = α + α = 2α.

Prípad 2 — stred S leží vnútri uhla AVB. Priemer VD rozdelí uhol AVB na uhly AVD a DVB, pre ktoré platí prípad 1. Príslušné stredové uhly ASD a DSB sú ich dvojnásobkami, a preto aj ich súčet |∡ASB| = 2 · |∡AVB|.

Prípad 3 — stred S leží mimo uhla AVB. Opäť použijeme priemer VD, len uhly namiesto sčítania odčítame: uhol AVB je rozdielom dvoch uhlov s ramenom VD a stredový uhol ASB rozdielom ich stredových uhlov. Každý z nich je dvojnásobkom, preto aj rozdiel je dvojnásobkom.

Talesova veta

Ak je AB priemer kružnice, stredový uhol ASB je priamy (180°), takže každý obvodový uhol AVB nad ním má 180° : 2 = 90°. Platí aj obrátená veta: ak |∡AVB| = 90°, bod V leží na kružnici s priemerom AB.

Talesova kružnica nad úsečkou AB je kružnica s priemerom AB — jej stred je stred úsečky AB a polomer je |AB| : 2. Je to množina vrcholov všetkých pravých uhlov, ktorých ramená prechádzajú bodmi A a B (body A, B samotné do nej nepatria). Pri takom pravouhlom trojuholníku s preponou AB môžeš počítať aj pomocou Euklidových viet.

Konštrukcie pomocou Talesovej kružnice

Pravouhlý trojuholník s danou preponou

Zostrojme pravouhlý trojuholník ABC s preponou |AB| = c a odvesnou |AC| = b. Vrchol pravého uhla C musí ležať na Talesovej kružnici nad preponou.

1. AB; |AB| = c
2. S; S je stred AB
3. τ; τ(S; c : 2) — Talesova kružnica nad AB
4. l; l(A; b)
5. C; C ∈ τ ∩ l
6. △ABC

Úloha má riešenie, ak b < c (odvesna je kratšia ako prepona). V jednej polrovine určenej priamkou AB má vtedy práve jedno riešenie. Namiesto odvesny môže byť daná napríklad výška v_c — bod C potom leží na priesečníku τ s rovnobežkou s AB vo vzdialenosti v_c (riešenie existuje, ak v_c ≤ c : 2).

Dotyčnice z bodu ku kružnici

Dotyčnica kružnice je priamka, ktorá má s kružnicou jediný spoločný bod T — bod dotyku. Dotyčnica je kolmá na polomer ST. Ak teda vedieme dotyčnicu z bodu P, uhol STP je pravý a bod dotyku T leží na Talesovej kružnici nad úsečkou SP.

1. k(S; r), bod P mimo kruhu
2. M; M je stred SP
3. τ; τ(M; |SP| : 2)
4. T₁, T₂; T₁, T₂ ∈ k ∩ τ
5. t₁ = PT₁, t₂ = PT₂ — dotyčnice

Počet dotyčníc: ak bod P leží mimo kruhu, existujú dve dotyčnice; ak P leží na kružnici, je jedna (kolmica na SP v bode P); ak P leží vnútri kruhu, dotyčnica neexistuje. Dĺžku dotyčnicového úseku vypočítame z pravouhlého trojuholníka STP: |PT| = √(|SP|² − r²).

Riešené príklady