Množiny a intervaly

Množina je súhrn objektov, ktoré nazývame jej prvky. Ukážeme si, ako množiny zapisovať, ako s nimi počítať (zjednotenie, prienik, rozdiel, doplnok), ako ich kresliť Vennovými diagramami a ako pracovať s intervalmi — množinami reálnych čísel na číselnej osi.

Množina a jej prvky

Množina je súhrn navzájom rôznych objektov, ktoré nazývame prvky množiny. O každom objekte musí byť jednoznačne rozhodnuté, či do množiny patrí, alebo nie. Množiny označujeme veľkými písmenami (A, B, M…), prvky zvyčajne malými písmenami alebo číslami.

• x ∈ A — x je prvkom množiny A (x patrí do A),
• x ∉ A — x nie je prvkom množiny A (x nepatrí do A).

Napríklad pre A = {2; 4; 6; 8} platí 4 ∈ A, ale 5 ∉ A. Na poradí prvkov nezáleží a každý prvok sa v množine počíta len raz: {1; 2; 3} = {3; 1; 2}.

Zápis množiny

• Vymenovaním prvkov — prvky napíšeme do zložených zátvoriek a oddelíme ich bodkočiarkou: A = {1; 2; 3; 4; 5}. Ak je prvkov veľa a pravidlo je zrejmé, pomôžeme si tromi bodkami: B = {1; 3; 5; …; 99}.
• Charakteristickou vlastnosťou — napíšeme, odkiaľ prvky berieme, a za bodkočiarku podmienku, ktorú musia spĺňať: A = {x ∈ N; x ≤ 5}. Čítame: „množina všetkých prirodzených čísel x, pre ktoré platí x ≤ 5“. Je to tá istá množina {1; 2; 3; 4; 5}.

Prázdna, konečná a nekonečná množina

• Prázdna množina ∅ nemá žiadny prvok. Napríklad {x ∈ N; x < 1} = ∅, lebo neexistuje prirodzené číslo menšie ako 1.
• Konečná množina má konečný počet prvkov. Počet prvkov množiny A zapisujeme |A|: |{2; 4; 6; 8}| = 4, |∅| = 0.
• Nekonečná množina má nekonečne veľa prvkov, napríklad množina všetkých párnych prirodzených čísel {2; 4; 6; …}.

Podmnožina a rovnosť množín

Množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok množiny A je aj prvkom množiny B. Zapisujeme A ⊂ B. Ak to neplatí, píšeme A ⊄ B.

• {2; 4} ⊂ {1; 2; 3; 4}, ale {2; 5} ⊄ {1; 2; 3; 4}, lebo 5 do druhej množiny nepatrí.
• Každá množina je podmnožinou samej seba (A ⊂ A) a prázdna množina je podmnožinou každej množiny (∅ ⊂ A).

Množiny A a B sa rovnajú (A = B), ak majú presne tie isté prvky — teda ak A ⊂ B a zároveň B ⊂ A. Napríklad {x ∈ N; x < 4} = {1; 2; 3}.

Operácie s množinami

Množiny, s ktorými pracujeme, sú obvykle časťou väčšej základnej množiny U (napríklad všetci žiaci triedy alebo všetky celé čísla). Pre množiny A, B ⊂ U definujeme:

• Zjednotenie A ∪ B — všetky prvky, ktoré patria aspoň do jednej z množín A, B (môžu aj do oboch): A ∪ B = {x; x ∈ A alebo x ∈ B}.
• Prienik A ∩ B — prvky, ktoré patria do oboch množín súčasne: A ∩ B = {x; x ∈ A a zároveň x ∈ B}.
• Rozdiel A − B (zapisuje sa aj A ∖ B) — prvky množiny A, ktoré nepatria do B: A − B = {x; x ∈ A a x ∉ B}. Pozor, vo všeobecnosti A − B ≠ B − A.
• Doplnok A′ množiny A v základnej množine U — prvky množiny U, ktoré nepatria do A: A′ = U − A.

Ak množiny nemajú žiadny spoločný prvok, teda A ∩ B = ∅, nazývame ich disjunktné. Disjunktné sú napríklad množina všetkých párnych a množina všetkých nepárnych čísel.

Šrafovaná časť znázorňuje výsledok operácie, obdĺžnik U je základná množina.

Vennove diagramy

Vennov diagram znázorňuje základnú množinu U obdĺžnikom a množiny A, B, C… kruhmi (alebo inými uzavretými oblasťami) v ňom. Kruhy kreslíme tak, aby sa navzájom prekrývali — dve množiny rozdelia obdĺžnik na 4 časti, tri množiny na 8 častí. Každá časť zodpovedá jednej možnosti, do ktorých množín prvok patrí a do ktorých nie. Niektoré časti môžu byť aj prázdne.

Pri počítaní prvkov zjednotenia nesmieme prvky prieniku započítať dvakrát:

Keď sčítame |A| + |B|, prvky prieniku A ∩ B sme započítali raz v A a raz v B — preto ich raz odčítame. Pri disjunktných množinách je jednoducho |A ∪ B| = |A| + |B|.

Rada pre slovné úlohy: diagram vypĺňaj od stredu — najprv počet prvkov v prieniku všetkých množín, potom v prienikoch dvojíc, potom časti „len v jednej množine“ a nakoniec počet prvkov mimo všetkých kruhov.

Číselné obory

• N — prirodzené čísla: N = {1; 2; 3; …}. Ak pridáme nulu, dostaneme N₀ = {0; 1; 2; 3; …}.
• Z — celé čísla: Z = {…; −2; −1; 0; 1; 2; …}.
• Q — racionálne čísla: čísla, ktoré sa dajú zapísať ako zlomok p/q, kde p ∈ Z a q ∈ N (napr. 1/2, −0,75 = −3/4, 5 = 5/1). Ich desatinný rozvoj je konečný alebo periodický.
• R — reálne čísla: všetky body číselnej osi. Okrem racionálnych čísel obsahujú aj iracionálne čísla (napr. √2, √3, π), ktoré sa zlomkom zapísať nedajú — ich desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický (√2 = 1,414 21…).

Intervaly

Interval je množina všetkých reálnych čísel, ktoré ležia medzi dvoma číslami a < b. Čísla a, b nazývame krajné body intervalu. Na číselnej osi je interval úsečka; neohraničený interval je polpriamka (alebo celá os).

• Lomená zátvorka ⟨ ⟩ — krajný bod do intervalu patrí; na osi ho kreslíme plným krúžkom.
• Okrúhla zátvorka ( ) — krajný bod do intervalu nepatrí; na osi ho kreslíme prázdnym krúžkom.
• Pri symboloch −∞ a ∞ píšeme vždy okrúhlu zátvorku — nekonečno nie je číslo, preto do intervalu patriť nemôže.

Zápis s nerovnosťou a zápis intervalom znamenajú to isté: napríklad {x ∈ R; −2 ≤ x < 3} = ⟨−2; 3).

Operácie s intervalmi

Intervaly sú množiny, preto s nimi robíme rovnaké operácie ako s inými množinami. Najspoľahlivejšie je nakresliť oba intervaly nad jednu číselnú os a výsledok z nej prečítať. Osobitne si pri každom krajnom bode rozhodni, či do výsledku patrí.

Výsledkom operácie nemusí byť interval:

• (−∞; 2⟩ ∩ (0; ∞) = (0; 2⟩, ale (−∞; 2⟩ ∪ (0; ∞) = R — celá os,
• ⟨1; 3⟩ ∩ ⟨3; 5) = {3} — intervaly majú jediný spoločný bod, výsledok je jednoprvková množina,
• (−∞; 2⟩ ∩ ⟨4; 6) = ∅ — intervaly nemajú spoločný bod,
• (−∞; 2⟩ ∪ ⟨4; 6) — zjednotenie sa jedným intervalom zapísať nedá, necháme ho v tomto tvare.

Intervalmi zapisujeme aj riešenia nerovníc — pozri Lineárne rovnice a nerovnice, Kvadratická funkcia a nerovnice a Absolútna hodnota.

Riešené príklady