Matematika1. ročník SŠAbsolútna hodnota

Absolútna hodnota

Absolútna hodnota čísla udáva, ako ďaleko je obraz čísla od nuly na číselnej osi — preto nikdy nie je záporná. Naučíš sa ju vypočítať, riešiť rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou a nakresliť graf funkcie y = |x|.

Definícia

|a| = a, ak a ≥ 0
|a| = −a, ak a < 0

Absolútna hodnota nezáporného čísla je to isté číslo. Absolútna hodnota záporného čísla je číslo k nemu opačné. Napríklad |7| = 7, |0| = 0, |−2,5| = 2,5.

Pozor: v riadku |a| = −a nie je −a záporné číslo. Keďže a je záporné, číslo −a je kladné — napríklad pre a = −5 je |−5| = −(−5) = 5.

Geometrický význam — vzdialenosť na číselnej osi

|a| je vzdialenosť obrazu čísla a od nuly na číselnej osi. Opačné čísla a a −a ležia od nuly rovnako ďaleko, preto majú rovnakú absolútnu hodnotu.

Absolútna hodnota rozdielu meria vzdialenosť dvoch bodov: |a − b| je vzdialenosť obrazov čísel a a b na číselnej osi. Na poradí nezáleží, lebo |a − b| = |b − a|.

Vzdialenosti na číselnej osi: |−3| = 3, |4| = 4 a vzdialenosť bodov −3 a 4 je |4 − (−3)| = 7.

Vlastnosti absolútnej hodnoty

Pre všetky reálne čísla a, b platí:

|a| ≥ 0, pričom |a| = 0 práve vtedy, keď a = 0.
|−a| = |a| — opačné čísla majú rovnakú absolútnu hodnotu, napríklad |−4| = |4| = 4.
|a · b| = |a| · |b|, napríklad |(−3) · 5| = |−15| = 15 = 3 · 5. Podobne |a : b| = |a| : |b| pre b ≠ 0.
|a + b| ≤ |a| + |b| (trojuholníková nerovnosť). Rovnosť nastane, keď a a b nemajú opačné znamienka. Napríklad |3 + (−5)| = 2, ale |3| + |−5| = 8.
√(a²) = |a|, napríklad √((−3)²) = √9 = 3, nie −3.

Rovnice s absolútnou hodnotou

Rovnica |x − a| = r sa pýta: ktoré čísla x sú od čísla a vzdialené presne o r? Číslo a je stred, r je vzdialenosť.

r > 0 — dve riešenia x₁ = a − r a x₂ = a + r. Napríklad |x − 2| = 3 má riešenia −1 a 5.
r = 0 — jedno riešenie x = a.
r < 0 — žiadne riešenie, K = ∅, lebo vzdialenosť nemôže byť záporná.

Pozor na znamienko vo vnútri: |x + 4| = |x − (−4)|, stred je teda −4. Ak je v absolútnej hodnote iný výraz V, využijeme, že pre r > 0 platí |V| = r práve vtedy, keď V = r alebo V = −r (pozri príklad 2).

Nerovnice s absolútnou hodnotou

Pri nerovnici hľadáme čísla, ktorých vzdialenosť od stredu a je menšia alebo väčšia ako r. Pre r > 0 platí:

Nerovnica	Vzdialenosť x od a je…	Množina riešení K
\|x − a\| < r	menšia ako r	(a − r; a + r)
\|x − a\| ≤ r	najviac r	⟨a − r; a + r⟩
\|x − a\| > r	väčšia ako r	(−∞; a − r) ∪ (a + r; ∞)
\|x − a\| ≥ r	aspoň r	(−∞; a − r⟩ ∪ ⟨a + r; ∞)

Pri ostrej nerovnosti (<, >) krajné body do riešenia nepatria (okrúhla zátvorka, prázdny krúžok), pri neostrej (≤, ≥) patria (lomená zátvorka, plný krúžok). Prvý riadok sa dá zapísať aj ako dvojitá nerovnosť: |x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r.

Ak r ≤ 0, rozhodneme hneď: |x − a| < r nemá riešenie, |x − a| ≤ 0 má jediné riešenie x = a, nerovnica |x − a| ≥ r platí pre každé x a |x − a| > r tiež (pri r = 0 okrem x = a). Zápis intervalov si môžeš zopakovať v téme Množiny a intervaly.

|x − 2| < 3 ⇒ K = (−1; 5)

|x − 2| ≥ 3 ⇒ K = (−∞; −1⟩ ∪ ⟨5; ∞)

Stred a = 2 (modrá značka), oblúky ukazujú vzdialenosť r = 3. Zelenou je množina riešení: prázdny krúžok = bod do K nepatrí, plný krúžok = patrí.

Metóda nulových bodov

Ak je v rovnici viac absolútnych hodnôt, napríklad |x − 1| + |x + 2| = 5, jednoduché „rozdelenie na dve rovnice“ nestačí. Postupujeme takto:

Nulové body: nájdeme čísla, v ktorých je výraz v každej absolútnej hodnote rovný nule (x − 1 = 0 ⇒ x = 1, x + 2 = 0 ⇒ x = −2).
Intervaly: nulové body rozdelia číselnú os na intervaly, tu (−∞; −2), ⟨−2; 1), ⟨1; ∞). Na každom intervale má každý výraz stále rovnaké znamienko. Nulový bod zaradíme do jedného z intervalov, aby sme žiadne číslo nevynechali.
Odstránenie absolútnych hodnôt: ak je výraz V na intervale nezáporný, píšeme |V| = V; ak je záporný, |V| = −V.
Riešenie na intervale: vyriešime rovnicu bez absolútnych hodnôt a overíme, či výsledok leží v danom intervale. Ak nie, na tomto intervale riešenie nie je.
Záver a skúška: množina riešení K je zjednotenie riešení zo všetkých intervalov. Každé riešenie overíme dosadením do pôvodnej rovnice.

Celý postup je rozpísaný v príklade 4 a vyskúšať si ho môžeš v riešiteľovi na konci stránky.

Graf funkcie y = |x| a jeho posuny

Graf funkcie y = |x| tvoria dve polpriamky so spoločným začiatkom v bode [0; 0]: pre x ≥ 0 je to časť priamky y = x, pre x < 0 časť priamky y = −x. Graf má tvar písmena V, je súmerný podľa osi y a funkcia nadobúda len nezáporné hodnoty: H(f) = ⟨0; ∞). Každé rameno je časť grafu lineárnej funkcie (pozri Lineárna funkcia).

Graf funkcie y = |x − a| + b dostaneme posunutím grafu y = |x| o a v smere osi x (pri a > 0 doprava, pri a < 0 doľava) a o b v smere osi y (pri b > 0 nahor, pri b < 0 nadol). Vrchol grafu je V[a; b].

y = |x|, vrchol V₀[0; 0]
y = |x − 2| + 1, vrchol V[2; 1]
posun o 2 doprava a o 1 nahor

Riešenia rovnice |x − a| + b = c sú x-ové súradnice priesečníkov grafu s vodorovnou priamkou y = c: pre c > b sú dve, pre c = b jedno (vrchol) a pre c < b žiadne.

Riešené príklady

Príklad 1 (výpočet výrazov): vypočítaj a) |−7| + |2 − 5|, b) |(−3) · 4| − |−3|, c) |1 − √2|.

|−7| + |2 − 5| = 7 + |−3| = 7 + 3 = 10
|(−3) · 4| − |−3| = |−12| − 3 = 12 − 3 = 9
Keďže √2 ≈ 1,41 > 1, je 1 − √2 < 0, a preto |1 − √2| = −(1 − √2) = √2 − 1

Príklad 2 (rovnica): |2x − 3| = 5

Absolútna hodnota sa rovná 5, ak je výraz v nej rovný 5 alebo −5: 2x − 3 = 5 alebo 2x − 3 = −5
Prvá rovnica: 2x = 8 ⇒ x₁ = 4; druhá rovnica: 2x = −2 ⇒ x₂ = −1
Skúška: |2 · 4 − 3| = |5| = 5 ✓, |2 · (−1) − 3| = |−5| = 5 ✓
Výsledok: K = {−1; 4}

Iný pohľad: |2x − 3| = 2 · |x − 1,5|, takže hľadáme čísla vzdialené od 1,5 presne o 2,5.

Príklad 3 (nerovnica): |x + 1| ≤ 3

Zapíšeme ako vzdialenosť: |x − (−1)| ≤ 3 — hľadáme čísla vzdialené od −1 najviac o 3.
Nerovnicu nahradíme dvojitou nerovnicou: −3 ≤ x + 1 ≤ 3
Od všetkých častí odčítame 1: −4 ≤ x ≤ 2
Výsledok: K = ⟨−4; 2⟩ — krajné body patria do riešenia, lebo nerovnosť je neostrá.

Príklad 4 (metóda nulových bodov): |x − 1| + |x + 2| = 5

Nulové body: x = 1 a x = −2
Intervaly: (−∞; −2), ⟨−2; 1), ⟨1; ∞)

Na každom intervale odstránime absolútne hodnoty a vyriešime rovnicu:

Interval	Znamienka	Rovnica bez \|…\|	Riešenie
(−∞; −2)	x − 1 < 0 x + 2 < 0	−(x − 1) − (x + 2) = 5 −2x − 1 = 5	x = −3, patrí do intervalu ✓
⟨−2; 1)	x − 1 < 0 x + 2 ≥ 0	−(x − 1) + (x + 2) = 5 3 = 5	neplatí ⇒ žiadne riešenie
⟨1; ∞)	x − 1 ≥ 0 x + 2 ≥ 0	(x − 1) + (x + 2) = 5 2x + 1 = 5	x = 2, patrí do intervalu ✓

Skúška: |−3 − 1| + |−3 + 2| = 4 + 1 = 5 ✓, |2 − 1| + |2 + 2| = 1 + 4 = 5 ✓
Výsledok: K = {−3; 2}

Geometricky: |x − 1| + |x + 2| je súčet vzdialeností bodu x od bodov 1 a −2. Pre x medzi týmito bodmi je súčet vždy 3, preto tam riešenie nie je.

🧠 Zapamätaj si

|a| je vzdialenosť čísla a od nuly, preto |a| ≥ 0.
|x − a| je vzdialenosť čísel x a a na číselnej osi.
|x − a| = r: pre r > 0 dve riešenia a ± r, pre r = 0 jedno, pre r < 0 žiadne.
|x − a| < r ⇒ interval okolo a: (a − r; a + r); |x − a| > r ⇒ dve polpriamky mimo neho.
Viac absolútnych hodnôt ⇒ metóda nulových bodov: intervaly, odstránenie |…|, kontrola intervalu, skúška.
Graf y = |x − a| + b má tvar V s vrcholom V[a; b].

Vyskúšaj si to — absolútna hodnota v akcii

1. Rovnice a nerovnice na číselnej osi

|x − 2| ≤ 3

stred a

vzťah

vzdialenosť r

bod x (overenie)

Oranžový bod x môžeš na osi ťahať myšou alebo prstom (alebo zadaj x do poľa) a sledovať, kedy vyhovuje.

stred a
vzdialenosť r od stredu
množina riešení K
krajný bod do K nepatrí
bod x — dá sa ťahať

2. Graf y = |x − a| + b a rovnica |x − a| + b = c

|x − 2| − 1 = 2

posun a2

posun b−1

priamka y = c2

y = |x − 2| − 1
priamka y = 2
vrchol V
priesečníky = riešenia

3. Riešiteľ |x − p| + |x − q| = c (metóda nulových bodov)

|x − 1| + |x + 2| = 5

y = |x − 1| + |x + 2|
priamka y = 5
hranice intervalov (nulové body)
riešenia