Výroková logika a pravdivostné tabuľky
Výroková logika skúma, ako pravdivosť zložených tvrdení závisí od pravdivosti ich častí. Naučíš sa rozoznať výrok, používať logické spojky, zostaviť pravdivostnú tabuľku a správne negovať zložené výroky — a na konci si všetko vyskúšaš v interaktívnej tabuľke.
Čo je výrok
Výrok je oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel povedať, či je pravdivá, alebo nepravdivá. Každý výrok má práve jednu pravdivostnú hodnotu: 1 (pravdivý výrok) alebo 0 (nepravdivý výrok). Výroky označujeme veľkými písmenami A, B, C, …
- „Číslo 7 je prvočíslo.“ — výrok, pravdivý (1).
- „2 + 3 = 6“ — výrok, nepravdivý (0).
- „Bratislava leží na Dunaji.“ — výrok, pravdivý (1).
- „Vo vesmíre existuje život aj mimo Zeme.“ — výrok, hoci jeho pravdivostnú hodnotu zatiaľ nepoznáme (takému výroku hovoríme hypotéza alebo domnienka).
Výrokom nie je:
- otázka — „Koľko je hodín?“,
- rozkaz, želanie alebo zvolanie — „Zatvor okno!“, „Kiežby už boli prázdniny.“,
- výroková forma — veta s premennou, napríklad „x + 2 = 5“ alebo „Číslo n je párne.“ O jej pravdivosti sa dá rozhodnúť až po dosadení za premennú (pre x = 3 vznikne pravdivý výrok, pre x = 1 nepravdivý) alebo po doplnení kvantifikátora („pre každé x“, „existuje x“).
Negácia výroku
Negácia výroku A je výrok ¬A, ktorý má opačnú pravdivostnú hodnotu ako výrok A. Čítame „nie je pravda, že A“ alebo „non A“; v niektorých učebniciach sa negácia zapisuje A′.
| A | ¬A |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Príklad — A: „Číslo 10 je deliteľné tromi.“ (nepravdivý výrok), ¬A: „Číslo 10 nie je deliteľné tromi.“ (pravdivý výrok).
Negácia nie je to isté ako „opak“. Negáciou výroku „Naše mužstvo zápas vyhralo.“ je „Naše mužstvo zápas nevyhralo.“ (prehralo alebo remizovalo), nie „Naše mužstvo zápas prehralo.“ Dvojitá negácia vráti pôvodnú hodnotu: ¬(¬A) má vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu ako A.
Zložené výroky a logické spojky
Z jednoduchých výrokov tvoríme pomocou logických spojok zložené výroky. Pravdivostná hodnota zloženého výroku závisí iba od pravdivostných hodnôt jeho zložiek, nie od ich obsahu. Prehľadne ju zachytáva pravdivostná tabuľka, v ktorej sú vypísané všetky kombinácie hodnôt.
| Spojka | Zápis | Čítame |
|---|---|---|
| negácia | ¬A | nie je pravda, že A |
| konjunkcia | A ∧ B | A a zároveň B |
| disjunkcia | A ∨ B | A alebo B |
| implikácia | A ⇒ B | ak A, tak B |
| ekvivalencia | A ⇔ B | A práve vtedy, keď B |
Konjunkcia A ∧ B
Čítame „A a B“ alebo „A a zároveň B“. Konjunkcia je pravdivá iba vtedy, keď sú pravdivé oba výroky.
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
„Číslo 12 je párne a je deliteľné tromi.“ má tvar 1 ∧ 1, je to pravdivý výrok. „Číslo 12 je párne a je deliteľné piatimi.“ má tvar 1 ∧ 0, je to nepravdivý výrok. Zo života: „Mám pri sebe lístok aj preukaz.“ — stačí, aby jedno z toho chýbalo, a výrok neplatí.
Disjunkcia A ∨ B
Čítame „A alebo B“. Disjunkcia je pravdivá, keď je pravdivý aspoň jeden z výrokov; nepravdivá je iba vtedy, keď sú nepravdivé oba. Matematické „alebo“ teda nie je vylučovacie — pripúšťa aj to, že platia oba výroky naraz.
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
„Číslo 9 je párne alebo je deliteľné tromi.“ má tvar 0 ∨ 1, je to pravdivý výrok. „Číslo 7 je párne alebo je deliteľné tromi.“ má tvar 0 ∨ 0, je to nepravdivý výrok. Zo života: „Na obed si dám polievku alebo šalát.“ je pravda aj vtedy, keď si dám oboje.
Implikácia A ⇒ B
Čítame „ak A, tak B“ alebo „z A vyplýva B“. Výrok A sa nazýva predpoklad, výrok B záver. Implikácia je nepravdivá v jedinom prípade: keď je predpoklad pravdivý a záver nepravdivý.
Zo života — sľub „Ak bude zajtra pršať, vezmem si dáždnik.“ (A: „Zajtra bude pršať.“, B: „Vezmem si dáždnik.“):
| A | B | A ⇒ B | Čo sa stalo |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | pršalo, dáždnik som si vzal — sľub som dodržal |
| 1 | 0 | 0 | pršalo, dáždnik som si nevzal — sľub som porušil |
| 0 | 1 | 1 | nepršalo, dáždnik som si vzal — sľub som neporušil |
| 0 | 0 | 1 | nepršalo, dáždnik som si nevzal — sľub som neporušil |
Prečo je implikácia s nepravdivým predpokladom pravdivá? Implikácia nehovorí nič o tom, čo sa stane, keď predpoklad neplatí. Sľub o dáždniku poruším iba vtedy, keď pršať bude a dáždnik si nevezmem. Ak pršať nebude, sľub som neporušil, nech urobím čokoľvek — a keďže každý výrok je buď pravdivý, alebo nepravdivý, implikácia je vtedy pravdivá.
Rovnako to potrebujeme v matematike. Veta „Ak je celé číslo deliteľné štyrmi, tak je párne.“ má platiť pre každé celé číslo. Pre číslo 8 má tvar 1 ⇒ 1, pre číslo 6 tvar 0 ⇒ 1 a pre číslo 7 tvar 0 ⇒ 0 — vo všetkých troch prípadoch preto musí byť implikácia pravdivá. Prípad 1 ⇒ 0 (číslo deliteľné štyrmi, ktoré nie je párne) nenastane nikdy.
Obrátená implikácia a obmena implikácie
K implikácii A ⇒ B patria dve ďalšie implikácie, ktoré sa s ňou často zamieňajú:
- obrátená implikácia B ⇒ A — vymení predpoklad a záver,
- obmena implikácie (obmenená implikácia) ¬B ⇒ ¬A — vymení predpoklad a záver a oba zneguje.
| A | B | A ⇒ B | B ⇒ A | ¬B ⇒ ¬A |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Stĺpce A ⇒ B a ¬B ⇒ ¬A sú zhodné: implikácia a jej obmena sú logicky ekvivalentné — buď platia obe, alebo ani jedna. Obrátená implikácia sa od pôvodnej líši v dvoch riadkoch, takže z platnosti implikácie nevyplýva platnosť obrátenej implikácie.
Príklad pre prirodzené číslo n:
- implikácia: „Ak je n deliteľné šiestimi, tak je deliteľné tromi.“ — platí pre každé n,
- obmena: „Ak n nie je deliteľné tromi, tak nie je deliteľné šiestimi.“ — hovorí to isté, platí pre každé n,
- obrátená implikácia: „Ak je n deliteľné tromi, tak je deliteľné šiestimi.“ — neplatí napríklad pre n = 9.
Obmenu využíva nepriamy dôkaz: namiesto implikácie A ⇒ B dokážeme jej obmenu ¬B ⇒ ¬A.
Ekvivalencia A ⇔ B
Čítame „A práve vtedy, keď B“ alebo „A vtedy a len vtedy, keď B“. Ekvivalencia je pravdivá, keď majú oba výroky rovnakú pravdivostnú hodnotu — oba sú pravdivé alebo oba nepravdivé. Znamená to isté ako implikácia oboma smermi: (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).
| A | B | A ⇔ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
„Číslo 18 je deliteľné šiestimi práve vtedy, keď je deliteľné dvoma aj tromi.“ má tvar 1 ⇔ 1, je to pravdivý výrok. „Číslo 15 je párne práve vtedy, keď je deliteľné piatimi.“ má tvar 0 ⇔ 1, je to nepravdivý výrok. Aj „Číslo 7 je párne práve vtedy, keď je deliteľné štyrmi.“ je pravdivý výrok, lebo má tvar 0 ⇔ 0.
Poradie spojok a zátvorky
Poradie, v akom sa spojky vyhodnocujú, určujú zátvorky — podobne ako pri počítaní s číslami. Negácia sa viaže len na výrok, ktorý stojí hneď za ňou: ¬A ∨ B znamená (¬A) ∨ B, nie ¬(A ∨ B). Pri ostatných spojkách radšej vždy píš zátvorky: (A ∧ B) ⇒ C je iný výrok ako A ∧ (B ⇒ C).
Pravdivostná tabuľka, tautológia a kontradikcia
Pravdivostnú tabuľku zloženého výroku zostavíme v troch krokoch:
- Vypíšeme všetky kombinácie pravdivostných hodnôt jednoduchých výrokov. Pri n výrokoch ich je 2n: pre 2 výroky 4 riadky, pre 3 výroky 8 riadkov, pre 4 výroky 16 riadkov.
- Pridávame stĺpce pre čoraz zložitejšie časti výroku — od vnútra zátvoriek smerom von.
- Posledný stĺpec patrí celému výroku.
Podľa posledného stĺpca rozlišujeme:
- tautológia — zložený výrok, ktorý je pravdivý pri všetkých kombináciách hodnôt (v stĺpci sú samé 1), napríklad A ∨ ¬A,
- kontradikcia — zložený výrok, ktorý je nepravdivý pri všetkých kombináciách hodnôt (v stĺpci sú samé 0), napríklad A ∧ ¬A,
- splniteľný výrok — je pravdivý aspoň pri jednej kombinácii hodnôt. Výrok, ktorý nie je tautológiou ani kontradikciou, je pri niektorých kombináciách pravdivý a pri iných nepravdivý, napríklad A ⇒ B.
| A | ¬A | A ∨ ¬A | A ∧ ¬A |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
Logicky ekvivalentné výroky
Dva zložené výroky sú logicky ekvivalentné, ak majú pri každej kombinácii hodnôt rovnakú pravdivostnú hodnotu — ich stĺpce v tabuľke sú zhodné. Ekvivalencia medzi nimi je potom tautológia. Príkladom sú výroky A ⇒ B a ¬A ∨ B:
| A | B | A ⇒ B | ¬A | ¬A ∨ B |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Negácie zložených výrokov
Negáciu zloženého výroku nedostaneme tak, že znegujeme jeho časti a spojku necháme. Platia tieto pravidlá (každé sa dá overiť pravdivostnou tabuľkou):
| Výrok | Jeho negácia |
|---|---|
| A ∧ B | ¬A ∨ ¬B |
| A ∨ B | ¬A ∧ ¬B |
| A ⇒ B | A ∧ ¬B |
| A ⇔ B | (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) |
Prvé dve pravidlá sa nazývajú De Morganove pravidlá: ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B) a ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B). Negáciu ekvivalencie možno zapísať aj kratšie ako A ⇔ ¬B — platí práve jeden z výrokov.
- „Kúpim chlieb a mlieko.“ — negácia: „Nekúpim chlieb alebo nekúpim mlieko.“
- „Pôjdem do kina alebo do divadla.“ — negácia: „Nepôjdem do kina ani do divadla.“
- „Ak bude pršať, zostanem doma.“ — negácia: „Bude pršať a nezostanem doma.“
- „Pôjdem von práve vtedy, keď bude svietiť slnko.“ — negácia: „Pôjdem von a slnko svietiť nebude, alebo nepôjdem von a slnko svietiť bude.“
Pozor: negácia implikácie nie je implikácia. Veta „Ak bude pršať, nezostanem doma.“ nie je negáciou výroku „Ak bude pršať, zostanem doma.“ — keď pršať nebude, sú pravdivé obe.
Kvantifikované výroky a ich negácia
Z výrokovej formy vznikne výrok aj tak, že povieme, pre koľko hodnôt premennej platí:
- všeobecný kvantifikátor ∀ — „pre každé“, „všetky“, „ľubovoľný“: „Každé prvočíslo väčšie ako 2 je nepárne.“, ∀x ∈ R: x2 ≥ 0,
- existenčný kvantifikátor ∃ — „existuje aspoň jeden“, „niektorý“: „Existuje prirodzené číslo deliteľné siedmimi.“, ∃x ∈ R: x2 = 2.
Pri negácii sa kvantifikátor zmení na opačný a vlastnosť sa zneguje:
| Výrok | Jeho negácia |
|---|---|
| Každý … má vlastnosť V. | Aspoň jeden … nemá vlastnosť V. |
| Aspoň jeden … má vlastnosť V. | Žiadny … nemá vlastnosť V. |
| Aspoň traja … | Najviac dvaja … |
| Najviac traja … | Aspoň štyria … |
- „Každý žiak našej triedy má mobil.“ — negácia: „Aspoň jeden žiak našej triedy nemá mobil.“ (nie „Žiadny žiak našej triedy nemá mobil.“)
- „Existuje párne prvočíslo.“ — negácia: „Žiadne prvočíslo nie je párne.“ Pôvodný výrok je pravdivý (číslo 2), jeho negácia je preto nepravdivá.
Symbolicky: ¬(∀x: V(x)) ⇔ (∃x: ¬V(x)) a ¬(∃x: V(x)) ⇔ (∀x: ¬V(x)).
Riešené príklady
- Výrok obsahuje tri jednoduché výroky, tabuľka má 23 = 8 riadkov. Kombinácie vypíšeme systematicky od 1, 1, 1 po 0, 0, 0.
- Stĺpec A ∧ B: hodnota 1 je len tam, kde A = 1 aj B = 1 (prvé dva riadky).
- Stĺpec ¬C: opačná hodnota ako C.
- Posledný stĺpec: implikácia je nepravdivá len tam, kde A ∧ B = 1 a zároveň ¬C = 0.
| A | B | C | A ∧ B | ¬C | (A ∧ B) ⇒ ¬C |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Výrok je nepravdivý v jedinom riadku (A = 1, B = 1, C = 1) a pravdivý v 7 z 8 riadkov — nie je to tautológia ani kontradikcia.
- Dva jednoduché výroky, tabuľka má 22 = 4 riadky.
- Vyplníme stĺpec A ⇒ B — hodnota 0 je len v riadku A = 1, B = 0.
- Doplníme stĺpce ¬B a ¬A a z nich stĺpec ¬B ⇒ ¬A.
- Ekvivalencia je pravdivá tam, kde majú stĺpce A ⇒ B a ¬B ⇒ ¬A rovnakú hodnotu.
| A | B | A ⇒ B | ¬B | ¬A | ¬B ⇒ ¬A | (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
V poslednom stĺpci sú samé 1, výrok je teda tautológia. Tým sme dokázali, že implikácia a jej obmena sú logicky ekvivalentné.
- Označíme jednoduché výroky — A: „Bude pekne.“, B: „Budem mať čas.“, C: „Pôjdem na výlet.“
- Zápis výroku: (A ∧ B) ⇒ C.
- Negácia implikácie ponechá predpoklad a zneguje záver: (A ∧ B) ∧ ¬C.
- Slovne: „Bude pekne, budem mať čas a na výlet nepôjdem.“
Podobne výrok „Každý žiak triedy vie plávať alebo korčuľovať.“ má negáciu „Aspoň jeden žiak triedy nevie plávať ani korčuľovať.“ — kvantifikátor sa zmení na opačný a disjunkcia sa podľa De Morganovho pravidla zmení na konjunkciu negácií.
🧠 Zapamätaj si
- Výrok je oznamovacia veta, ktorá je buď pravdivá (1), alebo nepravdivá (0). Otázka, rozkaz ani výroková forma s premennou výrokom nie sú.
- A ∧ B je pravdivá len pre 1, 1; A ∨ B je nepravdivá len pre 0, 0.
- A ⇒ B je nepravdivá len pre 1 ⇒ 0; A ⇔ B je pravdivá pri rovnakých hodnotách.
- Implikácia je ekvivalentná so svojou obmenou ¬B ⇒ ¬A, ale nie s obrátenou implikáciou B ⇒ A.
- Negácie: ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B), ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A ∧ ¬B), ¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B).
- Negácia výroku „každý … je …“ je „aspoň jeden … nie je …“; negácia výroku „aspoň jeden … je …“ je „žiadny … nie je …“.
- Tautológia má v tabuľke samé 1, kontradikcia samé 0.
Vyskúšaj si to — pravdivostná tabuľka
Napíš zložený výrok alebo ho poskladaj tlačidlami. Tabuľka sa rozloží na stĺpce podvýrazov a prepočíta sa pri každej zmene.
Z klávesnice môžeš písať aj náhradné znaky: ! alebo ~ namiesto ¬, & namiesto ∧, | namiesto ∨, -> alebo => namiesto ⇒, <-> alebo <=> namiesto ⇔. Premenné sú písmená (A, B, p, q, …), najviac 4 rôzne; 1 a 0 znamenajú pravdivý a nepravdivý výrok a písmená T a F sa čítajú ako 1 a 0. Bez zátvoriek sa spojky vyhodnocujú v poradí ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔.
Príklady na jedno kliknutie
Sú dva výrazy logicky ekvivalentné?
Zadaj dva výrazy. Tabuľka ukáže ich hodnoty vedľa seba a zvýrazní riadky, v ktorých sa líšia.
Tlačidlá píšu do toho z dvoch polí, v ktorom bol naposledy kurzor.
Príklady na jedno kliknutie
Pozri aj
- Množiny a intervaly — prienik, zjednotenie a doplnok množín zodpovedajú konjunkcii, disjunkcii a negácii: prvok patrí do prieniku dvoch množín práve vtedy, keď patrí do prvej a zároveň do druhej.
- Deliteľnosť, NSD a NSN — veľa viet o deliteľnosti má tvar implikácie alebo ekvivalencie.
- Podrobnejší nástroj v angličtine: Truth Table Generator.