Clever Quest Lab ← Matematika · 1. ročník SŠ
Matematika1. ročník SŠKvadratická funkcia a nerovnice

Kvadratická funkcia a nerovnice

Kvadratická funkcia obsahuje druhú mocninu premennej a jej grafom je parabola. Keď poznáme vrchol paraboly a jej priesečníky s osami, vieme z grafu vyčítať všetky vlastnosti funkcie — a rovnako ľahko vyriešiť aj kvadratickú nerovnicu.

Čo je kvadratická funkcia

f: y = ax2 + bx + c,a ≠ 0

Kvadratická funkcia je každá funkcia s predpisom y = ax2 + bx + c, kde a, b, c sú reálne čísla a a ≠ 0. Definičný obor je D(f) = R — za x môžeme dosadiť ľubovoľné reálne číslo. Grafom kvadratickej funkcie je krivka, ktorá sa volá parabola.

Podmienka a ≠ 0 je dôležitá: pri a = 0 by zostalo y = bx + c, a to je lineárna funkcia, ktorej grafom je priamka. Téma nadväzuje na kvadratické rovnice — pomocou nich hľadáme priesečníky paraboly s osou x.

Ako koeficient a ovplyvňuje tvar paraboly

Graf funkcie y = −x2 je graf y = x2 preklopený podľa osi x.

−3−2−10123−4−224xy
Všetky štyri paraboly majú vrchol v bode [0; 0]. Väčšie |a| znamená užšiu parabolu, záporné a ju otočí nadol.

Vrcholový tvar a posunutie grafu

Každú kvadratickú funkciu vieme zapísať vo vrcholovom tvare:

y = a(x − m)2 + nV[m; n]

Graf takejto funkcie vznikne z grafu y = ax2 posunutím o |m| v smere osi x (doprava, ak m > 0, doľava, ak m < 0) a o |n| v smere osi y (nahor, ak n > 0, nadol, ak n < 0). Vrchol paraboly je bod V[m; n] a parabola je súmerná podľa priamky x = m — to je jej os súmernosti (os paraboly).

−2−101234−224O[0; 0]V[2; −1]x = 2xy
Posunutím paraboly y = x2 o 2 doprava a o 1 nadol vznikne parabola y = (x − 2)2 − 1 s vrcholom V[2; −1].

Pozor na znamienko v zátvorke: y = (x + 3)2 = (x − (−3))2, teda m = −3 a parabola je posunutá doľava.

Doplnenie na štvorec

Zo všeobecného tvaru y = ax2 + bx + c dostaneme vrcholový tvar doplnením na štvorec. Využijeme vzorec (x + p)2 = x2 + 2px + p2, z ktorého vyplýva x2 + 2px = (x + p)2 − p2. Napríklad:

y = x2 + 6x + 5
  = (x2 + 6x + 9) − 9 + 5
  = (x + 3)2 − 4  ⇒  V[−3; −4]

Ak a ≠ 1, najprv vyberieme a pred zátvorku z členov s x (pozri príklad 1). Súradnice vrcholu sa dajú vypočítať aj priamo:

m = −b / (2a)n = f(m)

Súradnicu n dostaneme dosadením m do predpisu funkcie. Platí aj n = c − b2/(4a) = −D/(4a), kde D = b2 − 4ac je diskriminant.

Priesečníky paraboly s osami

Korene ležia súmerne podľa osi paraboly, preto je m aritmetickým priemerom koreňov: m = (x1 + x2) / 2.

Vlastnosti kvadratickej funkcie

Z vrcholu V[m; n] a zo znamienka koeficientu a vyčítame všetky základné vlastnosti:

Vlastnosťa > 0 (otvorená nahor)a < 0 (otvorená nadol)
Obor hodnôtH(f) = ⟨n; ∞)H(f) = (−∞; n⟩
Klesajúca na(−∞; m⟩⟨m; ∞)
Rastúca na⟨m; ∞)(−∞; m⟩
Extrémminimum n v bode x = m, maximum nemámaximum n v bode x = m, minimum nemá
Ohraničenosťzdola ohraničená, zhora niezhora ohraničená, zdola nie

Kvadratická funkcia je párna práve vtedy, keď b = 0 — vtedy je m = 0 a osou paraboly je os y. Pre b ≠ 0 nie je párna ani nepárna.

Kvadratické nerovnice

Kvadratická nerovnica je nerovnica, ktorú vieme upraviť na tvar ax2 + bx + c > 0 (alebo ≥ 0, < 0, ≤ 0), kde a ≠ 0. Najprehľadnejšie ju vyriešime graficky pomocou paraboly y = ax2 + bx + c:

  1. Nájdi korene rovnice ax2 + bx + c = 0 — priesečníky paraboly s osou x.
  2. Načrtni parabolu: podľa znamienka a je otvorená nahor alebo nadol a os x pretína v nájdených koreňoch.
  3. Vyčítaj z grafu: nerovnici > 0 vyhovujú tie x, pre ktoré leží parabola nad osou x, nerovnici < 0 tie x, pre ktoré leží pod osou x.
  4. Riešenie zapíš pomocou intervalov. Pri ostrých nerovnostiach (<, >) korene do riešenia nepatria — okrúhla zátvorka ( ). Pri neostrých (≤, ≥) korene patria do riešenia — lomená zátvorka ⟨ ⟩.

Prehľad všetkých prípadov pre a > 0 (x1 < x2 sú korene, x0 je dvojnásobný koreň):

ax2 + bx + c > 0≥ 0< 0≤ 0
D > 0(−∞; x1) ∪ (x2; ∞)(−∞; x1⟩ ∪ ⟨x2; ∞)(x1; x2)⟨x1; x2⟩
D = 0R − {x0}R∅{x0}
D < 0RR∅∅

Ak je a < 0, vynásob nerovnicu číslom −1. Znak nerovnosti sa pri tom otočí, napríklad −x2 + x + 6 > 0 ⇔ x2 − x − 6 < 0. Potom použi tabuľku.

Riešené príklady

Príklad 1 (doplnenie na štvorec): uprav funkciu f: y = 2x2 − 8x + 6 na vrcholový tvar a urči jej vlastnosti.
  1. Z členov s x vyberieme a = 2 pred zátvorku: y = 2(x² − 4x) + 6
  2. Doplníme na štvorec: x² − 4x = (x − 2)² − 4
  3. Dosadíme a upravíme: y = 2[(x − 2)² − 4] + 6 = 2(x − 2)² − 8 + 6 = 2(x − 2)² − 2
  4. Vrchol V[2; −2], os súmernosti x = 2. Kontrola vzorcom: m = −(−8) / (2·2) = 2, n = f(2) = 8 − 16 + 6 = −2
  5. a = 2 > 0, parabola je otvorená nahor (a užšia ako y = x²): minimum −2 v bode x = 2, H(f) = ⟨−2; ∞), klesajúca na (−∞; 2⟩, rastúca na ⟨2; ∞)
  6. Priesečníky: s osou y [0; 6]; s osou x riešime 2(x − 2)² − 2 = 0 ⇒ (x − 2)² = 1 ⇒ x − 2 = ±1, teda [1; 0] a [3; 0]
Príklad 2 (vlastnosti funkcie z grafu): na obrázku je graf kvadratickej funkcie f. Vyčítaj z neho vlastnosti funkcie a urči jej predpis.
−2−101234−224V[1; 4][0; 3][−1; 0][3; 0]x = 1xy
Graf funkcie f z príkladu 2.
  1. Parabola je otvorená nadol, preto a < 0
  2. Vrchol je V[1; 4], os súmernosti x = 1
  3. Priesečníky s osou x: [−1; 0] a [3; 0], s osou y: [0; 3]
  4. Najvyšším bodom je vrchol: maximum 4 v bode x = 1, minimum nemá, H(f) = (−∞; 4⟩
  5. Monotónnosť: rastúca na (−∞; 1⟩, klesajúca na ⟨1; ∞)
  6. Predpis: z vrcholu y = a(x − 1)² + 4. Bod [0; 3] leží na grafe: 3 = a·(0 − 1)² + 4 ⇒ a = −1, teda y = −(x − 1)² + 4 = −x² + 2x + 3. Kontrola: f(−1) = −1 − 2 + 3 = 0 a f(3) = −9 + 6 + 3 = 0.
Príklad 3 (kvadratické nerovnice):

a) x2 − x − 6 < 0

  1. Korene rovnice x² − x − 6 = 0: D = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, x₁,₂ = (1 ± 5) / 2, teda x₁ = −2, x₂ = 3
  2. a = 1 > 0, parabola je otvorená nahor a os x pretína v bodoch −2 a 3.
  3. Hľadáme x, pre ktoré je f(x) < 0, teda kde leží parabola pod osou x — to je medzi koreňmi.
  4. Nerovnosť je ostrá, korene do riešenia nepatria: K = (−2; 3)
−3−2−101234−6−4−22468x₁ = −2x₂ = 3f(x) < 0xy
Parabola y = x² − x − 6 leží pod osou x práve pre x z intervalu (−2; 3). Prázdne krúžky: korene do riešenia nepatria.

b) x2 + 2x + 5 ≤ 0

  1. D = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 < 0, parabola os x nepretína.
  2. a = 1 > 0, parabola leží celá nad osou x, teda x² + 2x + 5 > 0 pre každé x. Potvrdí to aj doplnenie na štvorec: x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 ≥ 4
  3. Nerovnici nevyhovuje žiadne x: K = ∅. Opačná nerovnica x² + 2x + 5 > 0 by naopak platila pre každé x: K = R

🧠 Zapamätaj si

Vyskúšaj si to — graf a nerovnica

Zadaj koeficienty a zvoľ znak nerovnice. Výsledky aj graf sa prepočítajú hneď. Vrchol paraboly V môžeš v grafe ťahať myšou alebo prstom — alebo ho označ klávesom Tab a posúvaj šípkami.

y = a·x² + b·x + c

Nerovnica a·x² + b·x + c ⋄ 0, kde ⋄ je

Alebo posuvníkmi — vrcholový tvar y = a(x − m)² + n

Posuvníky menia a, m, n; koeficienty b, c sa dopočítajú.

1
0,5
−6,25