Lineárne rovnice a nerovnice

Rovnica je ako váhy v rovnováhe — čo urobíš s jednou miskou, musíš urobiť aj s druhou. Naučíš sa riešiť lineárne rovnice a nerovnice pomocou ekvivalentných úprav, vyjadriť neznámu zo vzorca a znázorniť riešenie nerovnice na číselnej osi.

Rovnica, jej strany a koreň

Rovnica je zápis rovnosti dvoch výrazov, v ktorých sa vyskytuje neznáma (najčastejšie ju označujeme x). Výraz naľavo od znaku = je ľavá strana (Ľ), výraz napravo je pravá strana (P).

Číslo, ktoré po dosadení za neznámu urobí z rovnice pravdivú rovnosť, je koreň (riešenie) rovnice. Rovnica 2x + 3 = 7 má koreň 2, lebo 2 · 2 + 3 = 7. Číslo 3 koreňom nie je: 2 · 3 + 3 = 9 a 9 ≠ 7.

Vyriešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene. Zapisujeme ich ako množinu koreňov, napríklad K = {2}.

Lineárna rovnica má neznámu len v prvej mocnine — nie x², nie x pod odmocninou. Každú lineárnu rovnicu vieme úpravami zjednodušiť na tvar a · x = b.

Ekvivalentné úpravy — rovnica ako váhy

Predstav si rovnoramenné váhy v rovnováhe. Na ľavej miske sú dve rovnaké vrecúška, z ktorých každé váži neznámych x kilogramov, a tri závažia po 1 kg. Na pravej miske je sedem závaží po 1 kg. Váhy sú v rovnováhe, preto platí 2x + 3 = 7.

Rovnováha sa nepokazí, ak s oboma miskami urobíme to isté. Z oboch misiek odoberieme po 3 závažiach — zostane 2x = 4. Potom obsah oboch misiek rozdelíme na polovicu — zostane x = 2. Jedno vrecúško teda váži 2 kg.

Takým úpravám hovoríme ekvivalentné úpravy. Nezmenia riešenie rovnice:

• K obom stranám pripočítame alebo od oboch strán odčítame to isté číslo alebo ten istý výraz (napríklad 3 alebo 2x).
• Obe strany vynásobíme alebo vydelíme tým istým číslom, ktoré nie je nula.
• Ľavú a pravú stranu vymeníme.

Násobiť nulou nesmieme — z každej rovnice by vzniklo 0 = 0 a o neznámej by sme sa nič nedozvedeli. Deliť nulou sa nedá vôbec.

Úpravu, ktorú ideme urobiť, píšeme za zvislú čiaru vpravo od rovnice:

Skúška správnosti: koreň dosadíme do pôvodnej rovnice a ľavú aj pravú stranu vypočítame zvlášť: Ľ = 2 · 2 + 3 = 7, P = 7. Keďže Ľ = P, koreň je správny.

Krok za krokom si váhy prezrieš v riešiteľovi rovníc nižšie.

Rovnice so zátvorkami a so zlomkami

Zložitejšiu rovnicu najprv zjednodušíme. Osvedčený postup:

1. Odstránime zlomky — obe strany vynásobíme spoločným menovateľom (najlepšie najmenším spoločným násobkom menovateľov). Vynásobiť treba každý člen na oboch stranách.
2. Roznásobíme zátvorky. Pozor na mínus pred zátvorkou: −2 · (x − 3) = −2x + 6.
3. Členy s neznámou dostaneme na jednu stranu, čísla na druhú stranu (pripočítaním alebo odčítaním).
4. Obe strany zjednodušíme — sčítame členy s x a sčítame čísla.
5. Obe strany vydelíme číslom, ktoré stojí pri neznámej.
6. Urobíme skúšku dosadením do pôvodnej rovnice.

Tip: neznámu je výhodné sústrediť na tú stranu, kde je pri nej väčšie číslo. Číslo pri x potom vyjde kladné. Ak si potrebuješ zopakovať spoločný menovateľ, pozri tému Zlomky.

Jedno riešenie, žiadne alebo nekonečne veľa

Väčšina lineárnych rovníc má práve jeden koreň. Niekedy však neznáma pri úpravách „vypadne" a o výsledku rozhodne, či zostala pravdivá, alebo nepravdivá rovnosť.

Rovnica s neznámou v menovateli

Ak je neznáma v menovateli zlomku, najprv zapíšeme podmienku: menovateľ sa nesmie rovnať nule, lebo nulou deliť nemožno. Až potom rovnicu riešime:

1. zapíšeme podmienku (menovateľ ≠ 0),
2. obe strany vynásobíme menovateľom, aby zlomky zmizli,
3. vyriešime vzniknutú rovnicu,
4. overíme, či koreň spĺňa podmienku,
5. urobíme skúšku.

Prečo je podmienka dôležitá? V rovnici x + 1/x − 1 = 2/x − 1 musí platiť x ≠ 1. Po vynásobení oboch strán výrazom (x − 1) dostaneme x + 1 = 2, teda x = 1. Toto číslo však podmienka zakazuje — pre x = 1 by sme delili nulou. Rovnica preto nemá riešenie. Podmienka a skúška sú pri takýchto rovniciach povinné.

Vyjadrenie neznámej zo vzorca

Aj vzorec je rovnica — len namiesto čísel obsahuje písmená. Hľadanú veličinu z neho vyjadríme rovnakými ekvivalentnými úpravami. Deliť smieme len veličinou, ktorá sa nerovná nule.

• Dráha pri rovnomernom pohybe s = v · t — vyjadri čas t:
  s

  =

  v · t

  | : v

  s/v

  =

  t

  t

  =

  s/v
• Obvod obdĺžnika o = 2 · (a + b) — vyjadri stranu b:
  o

  =

  2 · (a + b)

  | : 2

  o/2

  =

  a + b

  | − a

  b

  =

  o/2 − a
• Obsah trojuholníka S = a · v_a/2 — vyjadri výšku v_a:
  S

  =

  a · v_a/2

  | · 2

  2S

  =

  a · v_a

  | : a

  v_a

  =

  2S/a

Výsledok si over číslami: pri dráhe s = 120 km a rýchlosti v = 60 km/h vyjde t = 120 : 60 = 2 h — to dáva zmysel.

Lineárne nerovnice

Nerovnica vznikne, keď dva výrazy spojíme niektorým znakom nerovnosti:

• < je menšie ako, > je väčšie ako,
• ≤ je menšie alebo rovné, ≥ je väčšie alebo rovné.

Riešením nerovnice zvyčajne nie je jedno číslo, ale nekonečne veľa čísel. Nerovnici x > 3 vyhovuje napríklad 4, 10, 3,5 aj 3,01 — a číslo 3 nie.

Úpravy nerovníc

Nerovnicu upravujeme rovnako ako rovnicu, s jedným dôležitým rozdielom:

• Pripočítanie a odčítanie čísla alebo výrazu — znak nerovnosti sa nemení.
• Násobenie a delenie kladným číslom — znak sa nemení.
• Násobenie a delenie záporným číslom — znak sa otočí: < na >, > na <, ≤ na ≥ a ≥ na ≤.

Prečo sa znak otočí? Platí 2 < 5. Keď obe čísla vynásobíme číslom −1, dostaneme −2 a −5. Na číselnej osi leží −2 vpravo od −5, preto −2 > −5 — znak sa musel otočiť.

Riešenie na číselnej osi

Riešenie nerovnice znázorníme na číselnej osi ako lúč (polpriamku). Pri hraničnom čísle nakreslíme krúžok:

• prázdny krúžok pri znakoch < a > — hraničné číslo do riešenia nepatrí,
• plný krúžok pri znakoch ≤ a ≥ — hraničné číslo do riešenia patrí.

Riešenie môžeme zapísať aj intervalom: x > 3 zapíšeme ako K = (3; ∞) a x ≤ −1 ako K = (−∞; −1⟩. Okrúhla zátvorka znamená, že krajné číslo do riešenia nepatrí, lomená zátvorka ⟨ alebo ⟩, že patrí. Pri nekonečne (∞) píšeme vždy okrúhlu zátvorku. Intervaly sa podrobne preberajú na strednej škole — pozri aj Množiny a intervaly.

Riešené príklady