Deliteľnosť, NSD a NSN

Kedy sa dá jedno číslo vydeliť druhým bezo zvyšku? Na tejto otázke stojí krátenie zlomkov, hľadanie spoločného menovateľa aj veľa slovných úloh. Zopakujeme si znaky deliteľnosti a prvočíselný rozklad, naučíme sa určiť najväčší spoločný deliteľ (NSD) a najmenší spoločný násobok (NSN) a ukážeme si Euklidov algoritmus.

Deliteľ a násobok

V celej téme pracujeme s prirodzenými číslami 1, 2, 3, … Hovoríme, že číslo a delí číslo b, ak existuje prirodzené číslo k, pre ktoré platí b = a · k. Zapisujeme a | b. Číslo a je potom deliteľ čísla b a číslo b je násobok čísla a.

• 6 | 42, lebo 42 = 6 · 7. Číslo 6 je deliteľ čísla 42 a číslo 42 je násobok čísla 6.
• Číslo 5 nedelí číslo 42 (zapisujeme 5 ∤ 42), lebo 42 : 5 = 8, zvyšok 2.
• Každé prirodzené číslo je deliteľné číslom 1 aj samým sebou.
• Ak číslo d delí dve čísla, delí aj ich súčet a rozdiel. Napríklad 7 | 35 a 7 | 21, preto 7 | 56 aj 7 | 14.

Delenie so zvyškom

Aj keď jedno číslo druhé nedelí, vieme deliť so zvyškom. Ku každej dvojici prirodzených čísel a, b existuje práve jedna dvojica celých nezáporných čísel q (neúplný podiel) a r (zvyšok), pre ktorú platí:

Napríklad 47 = 6 · 7 + 5 — zvyšok 5 je menší ako deliteľ 6. Ak vyjde r = 0, číslo b delí číslo a.

Znaky deliteľnosti

Či je číslo deliteľné malým číslom, často vidno priamo z jeho číslic — deliť netreba.

Prečo funguje ciferný súčet? Platí 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1 … Každá desiatka, stovka aj tisícka dáva po delení tromi aj deviatimi zvyšok 1, preto má číslo pri delení tromi (aj deviatimi) rovnaký zvyšok ako jeho ciferný súčet.

Pozor pri spájaní znakov. Číslo deliteľné dvoma aj tromi je deliteľné šiestimi, lebo 2 a 3 nemajú spoločného deliteľa okrem 1. Číslo deliteľné štyrmi aj šiestimi však nemusí byť deliteľné číslom 24 — napríklad číslo 12.

Prvočísla a zložené čísla

• Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré má práve dva rôzne delitele: číslo 1 a samo seba. Prvé prvočísla sú 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
• Zložené číslo má aspoň tri rôzne delitele, napríklad 4, 6, 8, 9, 10 či 12.
• Číslo 1 má jediného deliteľa, preto nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo.

Číslo 2 je jediné párne prvočíslo. Či je číslo prvočíslom, zistíme skúšaním: stačí overiť deliteľnosť prvočíslami, ktorých druhá mocnina nie je väčšia ako skúmané číslo. Pre číslo 97 skúšame len 2, 3, 5 a 7 (lebo 11² = 121 > 97). Žiadne z nich číslo 97 nedelí, takže 97 je prvočíslo.

Prvočíselný rozklad

Každé zložené číslo sa dá rozložiť na súčin prvočísel. Číslo postupne delíme najmenším prvočíslom, ktorým sa deliť dá, až kým nedostaneme 1. Rovnaké činitele potom zapíšeme pomocou mocnín.

Aj preto číslo 1 nepočítame medzi prvočísla — inak by rozklad nebol jediný (6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 1 · 1 · 2 · 3 …).

Delitele z rozkladu

Z rozkladu vieme vypísať všetky delitele čísla: deliteľ smie obsahovať len prvočísla z rozkladu, každé nanajvýš s takým exponentom, aký má v rozklade. Pre 360 = 2³ · 3² · 5 vyberáme exponent dvojky z možností 0, 1, 2, 3 (4 možnosti), exponent trojky z možností 0, 1, 2 (3 možnosti) a exponent päťky z možností 0, 1 (2 možnosti). Číslo 360 má teda 4 · 3 · 2 = 24 deliteľov:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

Všeobecne: ak má číslo rozklad p₁^e₁ · p₂^e₂ · …, počet jeho deliteľov je (e₁ + 1) · (e₂ + 1) · … Delitele tvoria dvojice so súčinom 360 (1 · 360, 2 · 180, 3 · 120, …), preto ich stačí hľadať po √360 ≈ 18,97.

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok

• Spoločný deliteľ čísel a, b je číslo, ktoré delí obe. Najväčší z nich je najväčší spoločný deliteľ (NSD), zapisujeme D(a, b).
• Spoločný násobok čísel a, b je číslo deliteľné oboma. Najmenší z nich je najmenší spoločný násobok (NSN), zapisujeme n(a, b).

Oba vieme určiť z prvočíselných rozkladov:

• D(a, b) je súčin prvočísel, ktoré sú v oboch rozkladoch, každé s najmenším exponentom, s akým sa v nich vyskytuje.
• n(a, b) je súčin všetkých prvočísel z oboch rozkladov, každé s najväčším exponentom.

Pre 360 = 2³ · 3² · 5 a 84 = 2² · 3 · 7 dostaneme D(360, 84) = 2² · 3 = 12 a n(360, 84) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2 520.

Čísla, pre ktoré platí D(a, b) = 1, sa nazývajú nesúdeliteľné — v ich rozkladoch nie je žiadne spoločné prvočíslo. Nesúdeliteľné sú napríklad čísla 8 a 15, hoci ani jedno z nich nie je prvočíslo. Ak D(a, b) > 1, čísla sú súdeliteľné.

Prečo to platí? Pri každom prvočísle dá najmenší a najväčší exponent spolu súčet oboch exponentov — a presne taký exponent má prvočíslo v súčine a · b. Pre čísla 360 a 84: 12 · 2 520 = 30 240 = 360 · 84. Keď poznáme D, najmenší spoločný násobok dopočítame: n(a, b) = a · b : D(a, b). Pre nesúdeliteľné čísla je n(a, b) = a · b.

Ak jedno číslo delí druhé, je D rovné menšiemu a n väčšiemu z nich: D(6, 42) = 6, n(6, 42) = 42. Pre rovnaké čísla platí D(a, a) = n(a, a) = a.

Euklidov algoritmus

Rozkladať veľké čísla na prvočísla je prácne. Najväčší spoločný deliteľ sa dá nájsť aj bez rozkladu — opakovaným delením so zvyškom. Postup opísal už Euklides okolo roku 300 pred n. l.

1. Väčšie číslo vydeľ menším so zvyškom: a = b · q + r.
2. Ak je zvyšok r = 0, výpočet končí a D(a, b) = b.
3. Inak nahraď dvojicu (a, b) dvojicou (b, r) a vráť sa na prvý krok.

Najväčší spoločný deliteľ je posledný nenulový zvyšok. Pre čísla 48 a 18:

Prečo to funguje

Z rovnosti a = b · q + r vyplýva r = a − b · q. Každé číslo, ktoré delí a aj b, preto delí aj zvyšok r. A naopak: každé číslo, ktoré delí b aj r, delí aj a = b · q + r. Dvojice (a, b) a (b, r) majú teda tie isté spoločné delitele, a preto aj rovnaký najväčší spoločný deliteľ: D(a, b) = D(b, r). Zvyšky sa pritom stále zmenšujú, takže po konečnom počte krokov vyjde zvyšok 0.

Geometrická predstava

Predstav si obdĺžnik so stranami 48 a 18. Hľadáme najväčší štvorec, ktorým sa dá celý obdĺžnik vydláždiť bez medzier — jeho strana musí deliť obe strany obdĺžnika. Z obdĺžnika postupne odrezávame čo najväčšie štvorce:

• 2 štvorce so stranou 18, zostane obdĺžnik 18 × 12;
• 1 štvorec so stranou 12, zostane obdĺžnik 12 × 6;
• 2 štvorce so stranou 6 — a nezostane nič.

Štvorcom so stranou 6 sa dajú vydláždiť aj oba väčšie štvorce (12 = 2 · 6, 18 = 3 · 6), teda celý obdĺžnik. Strana posledného štvorca je preto najväčší spoločný deliteľ strán. Vlastné čísla si vyskúšaj v interaktívnej časti na konci stránky.

Kde sa D a n používajú

• Krátenie zlomkov. Zlomok skrátime na základný tvar, keď čitateľa aj menovateľa vydelíme ich najväčším spoločným deliteľom. Keďže D(84, 126) = 42, platí 84126 = 23.
• Spoločný menovateľ. Najmenší spoločný menovateľ zlomkov je najmenší spoločný násobok ich menovateľov. Keďže n(12, 18) = 36, platí 512 + 718 = 1536 + 1436 = 2936.
• „Čo najväčšie rovnaké diely“ — hľadáme D. Stenu s rozmermi 360 cm × 84 cm chceme obložiť rovnakými štvorcovými obkladačkami bez rezania, a to čo najväčšími. Strana obkladačky je D(360, 84) = 12, teda 12 cm, a potrebujeme (360 : 12) · (84 : 12) = 30 · 7 = 210 kusov.
• „Kedy znova naraz“ — hľadáme n. Dva deje, ktoré sa pravidelne opakujú (odchody liniek, blikanie svetiel, otáčky ozubených kolies), sa znova stretnú po čase n(a, b) — pozri príklad 3.

Riešené príklady

Podrobnejší nástroj v angličtine: GCF & LCM Calculator.