Clever Quest Lab ← Matematika · 9. ročník ZŠ
Matematika9. ročník ZŠPodobnosť trojuholníkov

Podobnosť trojuholníkov

Podobné trojuholníky majú rovnaký tvar — jeden je zväčšeninou alebo zmenšeninou druhého. Vďaka podobnosti vypočítaš výšku stromu podľa jeho tieňa, šírku rieky bez toho, aby si ju preplával, alebo skutočnú vzdialenosť podľa mapy.

Podobné útvary

Útvary, ktoré majú rovnaký tvar, ale môžu mať rôznu veľkosť, nazývame podobné. Stretávaš sa s nimi často:

Pri zväčšení alebo zmenšení sa všetky dĺžky vynásobia tým istým číslom k. Toto kladné číslo sa volá pomer podobnosti:

vzorzväčšeninak = 1,5nie je podobný(len širší)
Zväčšenina má všetky rozmery 1,5-krát väčšie. Domček roztiahnutý len do šírky má iný tvar, preto vzoru podobný nie je.

Podobné trojuholníky

Trojuholník A′B′C′ je podobný trojuholníku ABC, ak sú všetky jeho strany k-násobkami zodpovedajúcich strán trojuholníka ABC. Zapisujeme △ABC ∼ △A′B′C′ a čítame „trojuholník ABC je podobný trojuholníku A′B′C′“.

a′ : a = b′ : b = c′ : c = k

Podobné trojuholníky majú rovnaký tvar, preto majú aj zhodné zodpovedajúce uhly:

α′ = α, β′ = β, γ′ = γ
ABCabcA′B′C′a′b′c′
△ABC ∼ △A′B′C′ s pomerom k = 1,5. Zhodné uhly majú rovnakú farbu a rovnaký počet oblúčikov.

Poradie vrcholov v zápise je dôležité. Zápis △ABC ∼ △KLM hovorí, že si zodpovedajú vrcholy A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M. Preto si zodpovedajú aj strany AB ↔ KL, BC ↔ LM, CA ↔ MK a uhly pri zodpovedajúcich vrcholoch sú zhodné.

Obvod a obsah podobných trojuholníkov

Keď sa každá strana zväčší k-krát, aj ich súčet — obvod — sa zväčší k-krát. Obsah sa však zmení k2-krát, lebo sa k-krát zväčší aj strana, aj výška na ňu.

o′ = k · o S′ = k2 · S
SSSSS△ABC△A′B′C′, k = 2
Pri k = 2 sa do väčšieho trojuholníka zmestia 4 trojuholníky zhodné s ABC: S′ = 22 · S = 4 · S. Obvod je len 2-krát väčší.

Napríklad pri k = 3 je obvod 3-krát väčší, ale obsah až 9-krát väčší. Pri zmenšení s k = 0,5 je obvod polovičný a obsah len štvrtinový, lebo 0,52 = 0,25.

Vety o podobnosti trojuholníkov

Aby sme zistili, či sú dva trojuholníky podobné, nemusíme porovnávať všetky strany aj všetky uhly. Stačí overiť jednu z viet o podobnosti. Pripomínajú vety o zhodnosti trojuholníkov — namiesto rovnakých dĺžok strán však stačí rovnaký pomer strán.

Veta sss (strana – strana – strana)

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v pomere všetkých troch dvojíc zodpovedajúcich strán:

a′ : a = b′ : b = c′ : c

Strany oboch trojuholníkov zoraď podľa veľkosti a porovnaj najkratšiu s najkratšou, strednú so strednou a najdlhšiu s najdlhšou.

ABCabcA′B′C′a′b′c′

Veta sus (strana – uhol – strana)

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v pomere dvoch dvojíc strán a v uhle, ktorý tieto strany zvierajú:

b′ : b = c′ : c a α′ = α

ABCbcA′B′C′b′c′

Veta uu (uhol – uhol)

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v dvoch uhloch:

α′ = α a β′ = β

Tretí uhol sa potom zhoduje tiež, lebo súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy 180°. V praxi sa veta uu používa najčastejšie.

ABCA′B′C′

Využitie podobnosti v praxi

Výška stromu alebo budovy podľa tieňa

Slnečné lúče dopadajú na zem rovnobežne. Ak vedľa stromu postavíš zvislú tyč, tyč so svojím tieňom a strom so svojím tieňom tvoria dva pravouhlé trojuholníky s rovnakým uhlom dopadu lúčov. Podľa vety uu sú podobné, preto platí:

v2 : v1 = t2 : t1

Tu v1 je výška tyče, t1 dĺžka jej tieňa, t2 dĺžka tieňa stromu a v2 hľadaná výška stromu. Oba tiene treba odmerať v tom istom čase, lebo počas dňa sa ich dĺžka mení. Vyskúšaj si to v riešiteľovi nižšie.

Šírka rieky

riekaTBCDEx30 m10 m8 m
△TBC ∼ △EDC podľa vety uu: pravé uhly pri B a D, zhodné vrcholové uhly pri C.

Na svojom brehu vytýčime kolíkmi body B, C, D v jednej priamke pozdĺž brehu tak, aby bod B ležal presne oproti stromu T na druhom brehu. Z bodu D kráčame kolmo od rieky, až kým kolík C a strom T nevidíme v jednej priamke — tam je bod E. Trojuholníky TBC a EDC sú podobné, preto

x : 8 = 30 : 10 x = 8 · 3 = 24 m

Rieka je široká 24 m, hoci sme ju vôbec nemuseli prekročiť.

Mierka mapy

Mapa je zmenšenina krajiny. Mierka 1 : 50 000 znamená, že každá vzdialenosť na mape je 50 000-krát menšia ako v skutočnosti: 1 cm na mape zodpovedá 50 000 cm = 500 m v teréne. Ak sú dve obce na mape vzdialené 4,2 cm, vzdušnou čiarou sú od seba vzdialené 4,2 · 500 m = 2 100 m = 2,1 km.

Riešené príklady

Príklad 1 (dopočítanie strán): Platí △ABC ∼ △A′B′C′. Trojuholník ABC má strany a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm a obsah S = 24 cm2. V trojuholníku A′B′C′ je c′ = 15 cm. Vypočítaj a′, b′, obvod o′ a obsah S′.
  1. Pomer podobnosti určíme z dvojice strán, ktoré poznáme obe: k = c′ : c = 15 : 10 = 1,5. Keďže k > 1, trojuholník A′B′C′ je zväčšenina.
  2. Ostatné strany vynásobíme číslom k: a′ = 1,5 · 6 = 9 cm, b′ = 1,5 · 8 = 12 cm.
  3. Obvod: o = 6 + 8 + 10 = 24 cm, o′ = 1,5 · 24 = 36 cm. Kontrola: 9 + 12 + 15 = 36.
  4. Obsah: S′ = k² · S = 1,5² · 24 = 2,25 · 24 = 54 cm².

Odpoveď: a′ = 9 cm, b′ = 12 cm, o′ = 36 cm, S′ = 54 cm2.

Príklad 2 (sú trojuholníky podobné?):

a) podľa vety uu

V trojuholníku ABC je α = 50° a β = 70°. V trojuholníku KLM má uhol pri vrchole K veľkosť 60° a uhol pri vrchole L veľkosť 50°.

  1. Tretí uhol trojuholníka ABC: γ = 180° − 50° − 70° = 60°.
  2. Tretí uhol trojuholníka KLM (pri M): 180° − 60° − 50° = 70°.
  3. Uhly sa zhodujú: pri A a L (50°), pri B a M (70°), pri C a K (60°). Podľa vety uu sú trojuholníky podobné — stačili by aj len dva z týchto uhlov.
  4. V zápise dodržíme poradie zodpovedajúcich vrcholov: △ABC ∼ △LMK.

b) podľa vety sss

Trojuholník má strany 4 cm, 6 cm, 8 cm. Je podobný trojuholníku so stranami 6 cm, 9 cm, 12 cm? A trojuholníku so stranami 6 cm, 9 cm, 13 cm?

  1. Strany sú zoradené od najkratšej, porovnáme pomery: 6 : 4 = 1,5, 9 : 6 = 1,5, 12 : 8 = 1,5. Všetky pomery sú rovnaké — trojuholníky sú podobné podľa vety sss, k = 1,5.
  2. Pri druhom trojuholníku: 6 : 4 = 1,5, 9 : 6 = 1,5, ale 13 : 8 = 1,625. Pomery nie sú rovnaké — tieto trojuholníky podobné nie sú.
Príklad 3 (výška stromu podľa tieňa): Tyč vysoká 1,5 m vrhá tieň dlhý 2 m. V tom istom čase vrhá strom tieň dlhý 12 m. Aký vysoký je strom?
  1. Tyč aj strom stoja zvislo a lúče Slnka sú rovnobežné. Trojuholníky „tyč – tieň“ a „strom – tieň“ majú pravý uhol a rovnaký uhol dopadu lúčov, sú teda podobné (veta uu).
  2. Pomer podobnosti: k = 12 : 2 = 6 — tieň stromu je 6-krát dlhší ako tieň tyče.
  3. Aj strom je 6-krát vyšší ako tyč: v = 6 · 1,5 = 9 m.
  4. To isté cez úmeru: v : 1,5 = 12 : 2, teda v = 1,5 · 12 : 2 = 9 m.

Odpoveď: Strom je vysoký 9 m.

🧠 Zapamätaj si

Vyskúšaj si to — podobný trojuholník

Ťahaj modré vrcholy trojuholníka ABC alebo zadaj ich súradnice. Posuvníkom zmeň pomer podobnosti k a sleduj, čo sa stane so stranami, uhlami, obvodom a obsahom trojuholníka A′B′C′.

Vrchol A
Vrchol B
Vrchol C

Vyskúšaj si to — výška stromu podľa tieňa

Zadaj výšku tyče a dĺžky oboch tieňov odmerané v tom istom čase. Všetky hodnoty sú v metroch.

Pozri aj: Priama a nepriama úmernosť (výška a dĺžka tieňa sú priamo úmerné), Pytagorova veta a Euklidove vety, ktoré sa dokazujú práve pomocou podobných trojuholníkov.