Štatistika a diagramy
Štatistika sa zaoberá zberom, triedením a spracovaním údajov. Naučíš sa zostaviť tabuľku početností, nakresliť stĺpcový, kruhový a spojnicový diagram a opísať celý súbor údajov jediným číslom — aritmetickým priemerom, mediánom alebo modusom.
Základné pojmy
- Štatistický súbor — skupina ľudí, vecí alebo udalostí, ktorú skúmame. Napríklad žiaci triedy 9. A.
- Štatistická jednotka — jeden prvok súboru. Napríklad jeden žiak.
- Štatistický znak — vlastnosť, ktorú u jednotiek sledujeme, napríklad známka z písomky, výška alebo obľúbený šport. Znak môže byť číselný (výška v cm, počet súrodencov) alebo slovný (obľúbená farba, spôsob dopravy do školy).
- Hodnota znaku — konkrétny údaj zistený u jednej jednotky, napríklad známka 2.
- Rozsah súboru n — počet všetkých jednotiek súboru. Ak v triede zisťujeme údaje od 20 žiakov, rozsah súboru je n = 20.
Zber a triedenie údajov
Údaje získavame štatistickým prieskumom — dotazníkom, anketou, pozorovaním, meraním alebo z hotových záznamov. Najprv si odpovede zapisujeme tak, ako prichádzajú, a vznikne neusporiadaný zoznam hodnôt. Potom ich triedime: pre každú hodnotu zistíme, koľkokrát sa v zozname vyskytuje. Pri ručnom triedení pomáha čiarkovanie — za každý výskyt hodnoty urobíme jednu čiarku a čiarky zoskupujeme po piatich, aby sa ľahko spočítali.
Tabuľka početností
- Absolútna početnosť ni hodnoty udáva, koľkokrát sa hodnota v súbore vyskytuje. Súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n.
- Relatívna početnosť fi udáva, akú časť súboru tvorí daná hodnota. Zapisujeme ju zlomkom, desatinným číslom alebo v percentách. Súčet všetkých relatívnych početností je 1, teda 100 %.
Žiakov triedy 9. A (n = 20) sme sa pýtali, ako chodia do školy:
| Doprava | Absolútna početnosť ni | Relatívna početnosť fi | ||
|---|---|---|---|---|
| zlomok | des. číslo | v % | ||
| pešo | 8 | 8/20 | 0,4 | 40 % |
| autobusom | 6 | 6/20 | 0,3 | 30 % |
| autom | 4 | 4/20 | 0,2 | 20 % |
| bicyklom | 2 | 2/20 | 0,1 | 10 % |
| spolu | 20 | 20/20 | 1 | 100 % |
Relatívna početnosť je vlastne zlomok — ak si potrebuješ zopakovať krátenie a porovnávanie zlomkov, pozri Zlomky.
Diagramy
Diagram ukáže údaje z tabuľky názorne — na prvý pohľad vidno, čoho je najviac a čoho najmenej. Oba diagramy nižšie znázorňujú tie isté údaje o doprave do školy.
- Stĺpcový diagram — každej hodnote znaku patrí jeden stĺpec, jeho výška zodpovedá početnosti. Stĺpce majú rovnakú šírku a rovnaké medzery, zvislá os začína nulou. Hodí sa na porovnanie početností.
- Kruhový diagram — celý kruh predstavuje celý súbor (100 %), každá výseč jednu hodnotu. Veľkosť výseče určuje jej stredový uhol. Hodí sa, keď chceme ukázať časti celku.
- Spojnicový diagram — hodnoty namerané v po sebe idúcich časoch vyznačíme bodmi a body spojíme úsečkami. Hodí sa na vývoj v čase: teplota počas dňa, počet návštevníkov v jednotlivých mesiacoch, ceny v rokoch.
Kedy ktorý diagram? Chceš porovnať veľkosti skupín → stĺpcový. Chceš ukázať, akú časť celku tvorí každá skupina → kruhový. Chceš ukázať, ako sa hodnota mení v čase → spojnicový.
Aritmetický priemer, medián a modus
Tieto tri čísla opisujú, okolo akej hodnoty sa údaje v súbore sústreďujú.
Aritmetický priemer
Sčítame všetky hodnoty a súčet vydelíme ich počtom:
Ak máme údaje v tabuľke početností, každú hodnotu vynásobíme jej početnosťou — to je vážený aritmetický priemer:
Modus
Modus (Mo) je hodnota s najväčšou početnosťou — tá, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie. Ak má najväčšiu početnosť viac hodnôt, súbor má viac modusov. Ak sa všetky hodnoty vyskytujú rovnako často (napríklad každá len raz), modus nie je jednoznačný a neurčujeme ho. Modus má zmysel aj pri slovnom znaku: najčastejší spôsob dopravy do školy je „pešo".
Medián
Medián (Me) je prostredná hodnota súboru usporiadaného podľa veľkosti. Hodnoty najprv zoradíme od najmenšej po najväčšiu.
- Nepárny rozsah n — medián je hodnota presne v strede (na mieste (n + 1)/2): 3; 5; 7; 8; 12 → Me = 7.
- Párny rozsah n — v strede sú dve hodnoty (na miestach n/2 a n/2 + 1), medián je ich priemer: 3; 5; 7; 9; 12; 15 → Me = (7 + 9) / 2 = 8.
Vplyv extrémnej hodnoty
Priemer ovplyvní každá hodnota súboru — aj jediná veľmi veľká alebo veľmi malá (extrémna) hodnota ho výrazne posunie. Medián závisí len od poradia hodnôt, preto sa extrémnou hodnotou takmer nezmení. Ak súbor obsahuje extrémne hodnoty, „bežnú" hodnotu lepšie vystihuje medián (pozri príklad 3).
Riešené príklady
- Rozsah súboru: n = 20
- Triedenie — spočítame výskyty každej známky: n1 = 4, n2 = 6, n3 = 5, n4 = 3, n5 = 2. Kontrola: 4 + 6 + 5 + 3 + 2 = 20
- Relatívne početnosti a stredové uhly, napríklad pre známku 1: f1 = 4/20 = 0,2 = 20 %, α1 = 360° · 0,2 = 72°. Ostatné sú v tabuľke:
Tabuľka početností známok z písomky Známka ni fi fi v % αi 1 4 0,2 20 % 72° 2 6 0,3 30 % 108° 3 5 0,25 25 % 90° 4 3 0,15 15 % 54° 5 2 0,1 10 % 36° spolu 20 1 100 % 360° - Kreslenie: od zvislého polomeru nanášame uhlomerom postupne 72°, 108°, 90°, 54° a 36°. Súčet uhlov je 360° — kruh sa presne uzavrie.
Kruhový diagram známok z písomky (vo výsečiach je známka a jej podiel). - Priemerná známka (vážený priemer): x = (1·4 + 2·6 + 3·5 + 4·3 + 5·2) / 20 = 53 / 20 = 2,65
- Usporiadame hodnoty podľa veľkosti: 5; 8; 8; 11; 12; 15; 20; 25, rozsah n = 8
- Priemer: x = (5 + 8 + 8 + 11 + 12 + 15 + 20 + 25) / 8 = 104 / 8 = 13 minút
- Medián: n = 8 je párne, v strede sú 4. a 5. hodnota, teda 11 a 12: Me = (11 + 12) / 2 = 11,5 minúty
- Modus: hodnota 8 sa vyskytuje dvakrát, ostatné len raz: Mo = 8 minút
Odpoveď: Priemerná cesta trvá 13 minút, medián je 11,5 minúty a najčastejšia hodnota (modus) je 8 minút.
- Súčet všetkých miezd: 900 + 1 000 + 1 100 + 1 100 + 1 200 + 1 300 + 5 300 = 11 900
- Priemer: x = 11 900 / 7 = 1 700 €
- Medián: n = 7 je nepárne, medián je 4. hodnota usporiadaného súboru: Me = 1 100 €
- Bez riaditeľa (n = 6): x = 6 600 / 6 = 1 100 € a Me = (1 100 + 1 100) / 2 = 1 100 €
Záver: Jediná extrémna hodnota zvýšila priemer o 600 €, medián sa nezmenil. Až 6 zo 7 zamestnancov zarába menej ako „priemerná mzda" 1 700 €. Bežnú mzdu vo firme tu lepšie vystihuje medián 1 100 € (rovnaký je aj modus).
🧠 Zapamätaj si
- Rozsah súboru n = počet všetkých hodnôt. Súčet absolútnych početností je n, súčet relatívnych početností je 1 = 100 %.
- fi = ni / n, stredový uhol výseče αi = 360° · fi.
- Stĺpcový diagram → porovnanie, kruhový → časti celku, spojnicový → vývoj v čase.
- Priemer = súčet hodnôt / ich počet; modus = najčastejšia hodnota; medián = prostredná hodnota usporiadaného súboru (pri párnom n priemer dvoch stredných hodnôt).
- Extrémna hodnota výrazne posunie priemer, medián takmer nie.
Vyskúšaj si to — známky z písomky
Nastav, koľko žiakov dostalo ktorú známku: potiahni vrch stĺpca myšou alebo prstom, alebo zmeň čísla v poliach. Tabuľka, priemer, medián aj modus sa prepočítajú hneď.
- priemer
- medián
- moduspod osou
Tabuľka početností
| Známka | Absolútna početnosť ni | Relatívna početnosť fi |
|---|
Vyskúšaj si to — vlastné údaje
Čísla oddeľ medzerou alebo bodkočiarkou, desatinné čísla píš s čiarkou (napr. 1,5; 2; 7). Tisíce píš bez medzery (1000). Spracuje sa najviac 500 hodnôt.
- priemer
- medián
- stredné hodnoty
Na štatistiku nadväzuje na strednej škole pravdepodobnosť — relatívna početnosť pri veľkom počte pokusov sa blíži k pravdepodobnosti.