Priama a nepriama úmernosť
Keď kúpiš dvakrát viac zošitov, zaplatíš dvakrát viac. Keď na rovnakú prácu nastúpi dvakrát viac robotníkov, budú ju robiť dvakrát kratšie. Prvé je priama úmernosť, druhé nepriama. Ukážeme si, ako ich spoznať, ako vyzerajú ich grafy a ako s nimi počítať trojčlenkou.
Priama úmernosť
Dve veličiny sú priamo úmerné, ak platí: koľkokrát sa zväčší (zmenší) jedna veličina, toľkokrát sa zväčší (zmenší) aj druhá.
| počet zošitov x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| cena y (€) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| podiel y : x | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
Keď sa počet zošitov zväčší 2-krát (z 2 na 4), aj cena sa zväčší 2-krát (zo 4 € na 8 €). Podiel y : x vychádza stále rovnaký. Priamu úmernosť zapíšeme vzťahom
Číslo k je koeficient priamej úmernosti. Vypočítame ho ako podiel k = y : x, ktorý je pre všetky dvojice rovnaký. V príklade so zošitmi je k = 2 — cena jedného zošita.
Graf priamej úmernosti
Grafom priamej úmernosti je priamka, ktorá prechádza počiatkom O[0; 0]. Pri k > 0 so zväčšujúcim sa x stúpa. V slovných úlohách sú hodnoty nezáporné (počet kusov, cena, čas), preto kreslíme len jej časť v 1. kvadrante.
Priama úmernosť je špeciálny prípad lineárnej funkcie y = kx + q, v ktorej q = 0 — preto jej graf prechádza počiatkom. Viac o nej v téme Lineárna funkcia.
Nepriama úmernosť
Dve veličiny sú nepriamo úmerné, ak platí: koľkokrát sa zväčší jedna veličina, toľkokrát sa zmenší druhá (a naopak).
| rýchlosť x (km/h) | 30 | 40 | 60 | 120 |
|---|---|---|---|---|
| čas jazdy y (h) | 4 | 3 | 2 | 1 |
| súčin x · y | 120 | 120 | 120 | 120 |
Keď auto ide 2-krát rýchlejšie (60 km/h namiesto 30 km/h), trasu prejde za 2-krát kratší čas (2 h namiesto 4 h). Súčin x · y je stále rovnaký. Nepriamu úmernosť zapíšeme vzťahom
Číslo k je koeficient nepriamej úmernosti. Vypočítame ho ako súčin k = x · y, ktorý je pre všetky dvojice rovnaký. V príklade s autom je k = 120 — dĺžka trasy v kilometroch.
Graf nepriamej úmernosti
Grafom nepriamej úmernosti je krivka, ktorá sa volá hyperbola. Pre x > 0 (s takými hodnotami počítame v úlohách) leží v 1. kvadrante: keď x rastie, y klesá a krivka sa približuje k osi x. Keď sa x blíži k nule, y rastie a krivka sa približuje k osi y. Osi však nikdy nepretne — x ani y sa nemôže rovnať nule.
Hyperbola má aj druhú vetvu v 3. kvadrante, pre záporné x. V úlohách z praxe ju nepotrebujeme, na obrázku je prerušovanou čiarou.
Ako rozpoznať úmernosť
Nestačí, že obe veličiny rastú, ani že jedna rastie a druhá klesá. Rozhodne až výpočet:
- Vypočítaj podiely y : x. Ak sú všetky rovnaké, ide o priamu úmernosť.
- Vypočítaj súčiny x · y. Ak sú všetky rovnaké, ide o nepriamu úmernosť.
- Ak nie je stály ani podiel, ani súčin, nejde o úmernosť.
Pozor na y = x + 2. Pre x = 1 je y = 3, pre x = 2 je y = 4. Veličina x sa zväčšila 2-krát, ale y nie (z 3 na 4). Podiely 3 : 1 = 3 a 4 : 2 = 2 sú rôzne, preto to nie je priama úmernosť, hoci obe veličiny rastú a grafom je priamka. Tá však neprechádza počiatkom (q = 2).
Podobne pri y = 10 − x y klesá, keď x rastie, ale súčiny 1 · 9 = 9 a 2 · 8 = 16 sú rôzne — nie je to nepriama úmernosť. Ani vek a výška dieťaťa nie sú úmerné: obe rastú, ale nie „toľkokrát“.
| Vlastnosť | Priama úmernosť | Nepriama úmernosť |
|---|---|---|
| Slovne | koľkokrát viac x, toľkokrát viac y | koľkokrát viac x, toľkokrát menej y |
| Vzťah | y = k · x | y = k lomeno x |
| Stále je | podiel y : x = k | súčin x · y = k |
| Graf | priamka cez O[0; 0] | hyperbola, osi nepretína |
| Príklad | množstvo tovaru a cena | počet robotníkov a čas práce |
Trojčlenka
Trojčlenku poznáš zo 7. ročníka. Použijeme ju, keď poznáme tri čísla a veličiny sú úmerné — štvrté číslo z nich vypočítame.
- Zápis: údaje napíš pod seba, rovnaké veličiny do toho istého stĺpca. Neznámu označ x.
- Rozhodni, či ide o priamu, alebo nepriamu úmernosť.
- Šípky: prvú nakresli v stĺpci s x — od x k číslu nad ním. Pri priamej úmernosti nakresli druhú šípku rovnakým smerom, pri nepriamej opačným smerom.
- Výpočet: x sa rovná číslu, ku ktorému smeruje šípka od x, vynásobenému zlomkom. V čitateli zlomku je číslo pri začiatku druhej šípky, v menovateli číslo pri jej hrote.
Priama úmernosť
Zápis: a1 zodpovedá b1, a2 zodpovedá x. Obe šípky smerujú nahor, majú rovnaký smer.
x = b1 · a2 lomeno a1
Nepriama úmernosť
Zápis: a1 zodpovedá b1, a2 zodpovedá x. Šípka pri x smeruje nahor, šípka pri a smeruje nadol, majú opačný smer.
x = b1 · a1 lomeno a2
Riešené príklady
- Zápis:
3 kg stojí 4,50 €, 5 kg stojí x €. Obe šípky smerujú nahor.
- Koľkokrát viac kilogramov, toľkokrát viac eur — je to priama úmernosť. Šípky kreslíme rovnakým smerom.
- Výpočet: x = 4,50 · 5 lomeno 3 x = 22,50 : 3 x = 7,50
- Iný spôsob — cez koeficient k (cena 1 kg): k = 4,50 : 3 = 1,50, potom y = 1,50 · 5 = 7,50
Odpoveď: Za 5 kg jabĺk zaplatíme 7,50 €.
- Zápis:
6 robotníkov pracuje 8 dní, 4 robotníci x dní. Šípka pri x smeruje nahor, šípka pri robotníkoch nadol.
- Koľkokrát menej robotníkov, toľkokrát viac dní — je to nepriama úmernosť. Šípky kreslíme opačným smerom.
- Výpočet: x = 8 · 6 lomeno 4 x = 48 : 4 x = 12
- Skúška — súčin je stály: 6 · 8 = 48 a 4 · 12 = 48 ✓
Odpoveď: 4 robotníci urobia prácu za 12 dní.
| x | 1 | 2 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 6 | 12 | 15 |
| y : x | 3 | 3 | 3 | 3 |
Podiely 3 : 1, 6 : 2, 12 : 4 a 15 : 5 sa všetky rovnajú 3 → priama úmernosť, k = 3, teda y = 3 · x.
| x | 1 | 2 | 3 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 6 | 4 | 2 |
| x · y | 12 | 12 | 12 | 12 |
Súčiny 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4 a 6 · 2 sa všetky rovnajú 12 → nepriama úmernosť, k = 12, teda y = 12 lomeno x.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y : x | 3 | 2 | ≐ 1,67 | 1,5 |
| x · y | 3 | 8 | 15 | 24 |
Podiely (5 : 3 ≐ 1,67) sa líšia a súčiny tiež → nejde o úmernosť. Obe veličiny síce rastú, ale platí y = x + 2.
🧠 Zapamätaj si
- Priama úmernosť: koľkokrát viac x, toľkokrát viac y. Platí y = k · x a podiel y : x = k je stály. Graf je priamka (jej časť) cez O[0; 0].
- Nepriama úmernosť: koľkokrát viac x, toľkokrát menej y. Platí y = k/x a súčin x · y = k je stály. Graf je hyperbola, ktorá nepretína osi.
- Či ide o úmernosť, over výpočtom podielu alebo súčinu — nestačí, že obe veličiny rastú.
- Trojčlenka: šípka ide od x ku známemu číslu. Pri priamej úmernosti je druhá šípka rovnakým smerom, pri nepriamej opačným.
Vyskúšaj si to — graf a tabuľka úmernosti
y = k · x
Modrý bod P ťahaj po grafe myšou alebo prstom, alebo mu nastav x posuvníkom.
- graf
- body z tabuľky
- bod P (dá sa ťahať)
- schodík: x doprava, y hore
Tabuľka hodnôt
Hodnoty x môžeš prepísať. Body z tabuľky sa hneď ukážu v grafe (oranžové).
| x | y | y : x |
|---|---|---|