Clever Quest Lab ← Matematika · 9. ročník ZŠ
Matematika9. ročník ZŠMocniny a odmocniny

Mocniny a odmocniny

Mocnina je skrátený zápis násobenia rovnakých čísel: namiesto 2 · 2 · 2 · 2 · 2 napíšeš 25. Odmocnina je opačná operácia — z obsahu štvorca zistí dĺžku jeho strany. A pomocou mocnín čísla 10 zapíšeš krátko a prehľadne aj obrovské vzdialenosti vo vesmíre.

Čo je mocnina

an = a · a · … · an činiteľov a
Mocnina 2 na piatu: základ je 2, mocniteľ je 5, 2 na piatu = 2·2·2·2·2 = 32, teda 5 činiteľov. 2 5 mocniteľ základ = 2·2·2·2·2 = 32 5 činiteľov
Mocnina 25 — čítame „dva na piatu“.

Číslo a je základ mocniny, prirodzené číslo n je mocniteľ (exponent). Mocniteľ hovorí, koľko rovnakých činiteľov a násobíme. Zápis an čítame „a na n-tú“, napríklad 34 je „tri na štvrtú“.

Pozor, mocnina nie je násobenie mocniteľom: 25 = 32, nie 2 · 5 = 10.

Druhá a tretia mocnina

Najčastejšie sa stretneš s druhou a treťou mocninou. Obe majú aj geometrický význam:

Umocňovať môžeš aj desatinné čísla a zlomky: 2,52 = 2,5 · 2,5 = 6,25;  0,12 = 0,01;  (2/3)2 = 4/9. Všimni si, že druhá mocnina čísla medzi 0 a 1 je menšia než samotné číslo.

Druhé mocniny aspoň do 12 sa oplatí vedieť naspamäť — hodia sa pri odmocninách:

Druhé a tretie mocniny čísel 1 až 12
nn2n3nn2n3
111749343
248864512
3927981729
41664101001 000
525125111211 331
636216121441 728

Mocnina záporného čísla

Aj záporné číslo umocňujeme ako opakované násobenie. Znamienko výsledku závisí od mocniteľa:

n123456
(−2)n−24−816−3264

Súčin dvoch záporných čísel je kladný, takže mínusy sa „vyrušia“ po dvojiciach. Pri párnom počte činiteľov nezostane žiadne mínus, pri nepárnom zostane jedno.

Pozor na zátvorky: (−3)2 = (−3) · (−3) = 9, ale −32 = −(3 · 3) = −9.

Bez zátvorky sa umocňuje len číslo 3 a znamienko mínus sa pridá až potom.

Počítanie s mocninami

Pre mocniny s rovnakým základom platia jednoduché pravidlá. Všetky vyplývajú z toho, že mocnina je opakované násobenie (m, n sú prirodzené čísla).

Súčin mocnín

am · an = am+n

Základ opíšeme, mocnitele sčítame.

23 · 22 = (2·2·2) · (2·2) = 25 = 32

Podiel mocnín

am : an = am−n

Pre a ≠ 0 a m > n: základ opíšeme, mocnitele odčítame.

54 : 52 = 625 : 25 = 25 = 52

Mocnina súčinu

(a · b)n = an · bn

Umocníme každý činiteľ.

(2 · 5)3 = 23 · 53 = 8 · 125 = 1 000

Mocnina mocniny

(am)n = am·n

Mocnitele vynásobíme.

(32)3 = 32 · 32 · 32 = 36 = 729

Súčet mocnín sa takto zjednodušiť nedá: 22 + 23 = 4 + 8 = 12, ale 25 = 32.

Rovnako (1 + 2)2 = 32 = 9, ale 12 + 22 = 5 — mocnina súčtu nie je súčet mocnín.

Druhá odmocnina

Druhá odmocnina je opačná operácia k druhej mocnine: hľadá nezáporné číslo, ktoré po umocnení na druhú dá zadané číslo.

√a = bak b ≥ 0 a b2 = a (pre a ≥ 0)

Druhú odmocninu počítame len z nezáporných čísel a jej výsledok je vždy nezáporný.

Geometricky: štvorec s obsahom S má stranu a = √S. Štvorec s obsahom 36 cm2 má stranu √36 = 6 cm. Druhú mocninu aj odmocninu budeš často potrebovať pri Pytagorovej vete.

Odhad druhej odmocniny

Väčšina čísel nie je druhou mocninou celého čísla — napríklad 50. Jeho odmocnina nevyjde celá, ale rýchlo ju odhadneš pomocou najbližších druhých mocnín z tabuľky vyššie:

Číselná os od 6 do 9. Nad číslami sú ich druhé mocniny: 6 na druhú je 36, 7 na druhú 49, 8 na druhú 64, 9 na druhú 81. Odmocnina z 50 leží medzi 7 a 8, približne 7,07. 6 7 8 9 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 √50 ≈ 7,07
49 < 50 < 64, preto 7 < √50 < 8.

Keďže 72 = 49 < 50 < 64 = 82, platí 7 < √50 < 8. Číslo 50 je veľmi blízko 49, preto bude √50 len o málo väčšia ako 7. Kalkulačka to potvrdí: √50 ≈ 7,07.

Odhad je dobrá kontrola výsledku z kalkulačky — ak by ti pre √50 vyšlo 25, niekde je chyba.

Tretia odmocnina

Tretia odmocnina je opačná operácia k tretej mocnine:

3√a = bak b3 = a

Geometricky: kocka s objemom V má hranu a = 3√V. Kocka s objemom 125 cm3 má hranu 3√125 = 5 cm. Objemy ďalších telies nájdeš v téme Valec, kužeľ, ihlan a guľa.

Aj tretiu odmocninu vieme odhadnúť: 33 = 27 < 50 < 64 = 43, preto 3 < 3√50 < 4 (presnejšie 3√50 ≈ 3,68).

Mocniny čísla 10

Mocniny čísla 10 sa počítajú najľahšie: 10n je jednotka a za ňou n núl.

mocninačísloslovom
10110desať
102100sto
1031 000tisíc
1061 000 000milión
1091 000 000 000miliarda
10121 000 000 000 000bilión

Násobiť číslom 10n znamená posunúť desatinnú čiarku o n miest doprava (chýbajúce miesta doplníme nulami): 3,5 · 103 = 3,5 · 1 000 = 3 500. Deliť číslom 10n znamená posunúť ju o n miest doľava: 4 200 : 102 = 42.

Zápis veľkých čísel v tvare a·10n

Vo vede, v technike aj na kalkulačke sa veľké čísla zapisujú skrátene ako súčin čísla a mocniny čísla 10:

a · 10nkde 1 ≤ a < 10 a n je prirodzené číslo

Napríklad vzdialenosť Zeme od Mesiaca je približne 384 400 km = 3,844·105 km. Postup:

  1. Desatinnú čiarku posuň doľava tak, aby pred ňou ostala jediná nenulová číslica — tak dostaneš číslo a. (Pri celom čísle je čiarka „schovaná“ na jeho konci.)
  2. Spočítaj, o koľko miest si čiarku posunul — to je mocniteľ n.
  3. Nuly na konci desatinnej časti vynechaj.
Číslo 384 400: desatinná čiarka sa posúva z konca čísla o 5 miest doľava, až za číslicu 3. Vznikne 3,844 krát 10 na piatu. 1 2 3 4 5 3 8 4 4 0 0 , , o 5 miest doľava → 3,844·105
384 400 = 3,844 00·105 = 3,844·105 (nuly na konci vynecháme).

Späť: v zápise a·10n posuň čiarku v čísle a o n miest doprava: 2,1·106 = 2 100 000.

Kontrola: číslo a musí byť aspoň 1 a menšie ako 10. Zápis 38,44·104 má síce rovnakú hodnotu, ale nie je v tvare a·10n, lebo 38,44 > 10. Ani 0,384 4·106 nie je správne, lebo 0,384 4 < 1.

Riešené príklady

Príklad 1 (výpočet s mocninami): Vypočítaj (−2)3 + 32 − 25 : 23.
  1. Záporný základ a nepárny mocniteľ, výsledok je záporný: (−2)³ = (−2)·(−2)·(−2) = −8
  2. Druhá mocnina: 3² = 3·3 = 9
  3. Podiel mocnín s rovnakým základom: 2⁵ : 2³ = 2⁵⁻³ = 2² = 4
  4. Najprv mocniny a delenie, potom sčítanie a odčítanie: −8 + 9 − 4 = −3
Príklad 2 (odhad a výpočet odmocniny): Štvorcový záhon má obsah 50 m2. Aká dlhá je jeho strana? A akú hranu má kocka s objemom 125 cm3?
  1. Strana štvorca je druhá odmocnina z obsahu: a = √50
  2. Odhad: 7² = 49 a 8² = 64, a keďže 49 < 50 < 64, platí 7 < √50 < 8.
  3. 50 je veľmi blízko 49, takže √50 je o málo viac ako 7. Kalkulačka: √50 ≈ 7,07 — strana má asi 7,07 m.
  4. Skúška: 7,07² ≈ 49,98 ≈ 50 ✓
  5. Hrana kocky je tretia odmocnina z objemu: a = ³√125 = 5, lebo 5³ = 5·5·5 = 125. Hrana má 5 cm.
Príklad 3 (prevod do tvaru a·10n a späť): Vzdialenosť Zeme od Mesiaca je približne 384 400 km. Zapíš ju v tvare a·10n. Potom zapíš bežným spôsobom vzdialenosť Zeme od Slnka 1,5·108 km.
  1. Čiarka je „schovaná“ na konci čísla: 384 400, Posúvame ju doľava, kým pred ňou neostane jediná číslica 3.
  2. Posunuli sme ju o 5 miest: a = 3,844 00 = 3,844, n = 5
  3. Výsledok: 384 400 km = 3,844·10⁵ km
  4. Späť: v čísle 1,5 posunieme čiarku o 8 miest doprava a chýbajúce miesta doplníme nulami: 1,5·10⁸ km = 150 000 000 km (150 miliónov kilometrov).

🧠 Zapamätaj si

Vyskúšaj si to — štvorec a kocka

Posuvníkom meň dĺžku strany a. Štvorec sa rozdelí na a2 jednotkových štvorčekov a kocka sa poskladá z a3 jednotkových kociek.

4
  • 1 jednotkový štvorček / 1 jednotková kocka

Opačný smer: z obsahu alebo objemu na stranu

Zadaj obsah štvorca alebo objem kocky a zistíš dĺžku strany (hrany) pomocou odmocniny.

Vyskúšaj si to — zápis a·10n

Zadaj číslo (môžeš písať medzery aj desatinnú čiarku) a prevodník ho zapíše v tvare a·10n.

A naopak: z tvaru a·10n na bežný zápis

Jednotka je rovnaká ako vyššie.

Od atómu po galaxiu

Stupnica ukazuje dĺžky v metroch. Každý dielik je 10-krát väčší než predchádzajúci, preto sa na ňu zmestí atóm aj galaxia. Ak je tvoje číslo dĺžka v metroch alebo kilometroch, vyznačí sa na stupnici — vždy číslo z poľa, ktoré si menil naposledy.

  • známe dĺžky (zaokrúhlené)
  • tvoje číslo