Valec, kužeľ, ihlan a guľa
Plechovka, kornútok zmrzliny, strecha veže aj lopta sú priestorové telesá. Naučíš sa vypočítať ich objem (koľko sa do nich zmestí) a povrch (koľko materiálu treba na ich obal). Na konci stránky si každé teleso môžeš otočiť v 3D a rozložiť na sieť.
Objem a povrch
- Objem V udáva, koľko priestoru teleso zaberá. Meria sa v kubických jednotkách: cm3, dm3, m3.
- Povrch S je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Meria sa v štvorcových jednotkách: cm2, dm2, m2.
- Povrch si najlepšie predstavíš pomocou siete telesa – teleso „rozstriháš“ a rozložíš do roviny.
- Pri kruhu budeš potrebovať číslo π ≈ 3,14: obsah kruhu je π · r2 a jeho obvod 2 · π · r.
Valec
Valec má dve zhodné podstavy – kruhy s polomerom r – a plášť. Výška v je vzdialenosť oboch podstáv. Keď plášť rozstriháš pozdĺž výšky a rozvinieš, dostaneš obdĺžnik: jedna jeho strana je obvod podstavy 2 · π · r, druhá je výška v.
Kužeľ
Kužeľ má jednu podstavu – kruh s polomerom r – a plášť, ktorý sa zbieha do vrcholu. Výška v je vzdialenosť vrcholu od podstavy. Strana s je úsečka, ktorá spája vrchol s okrajom podstavy.
Výška v, polomer r a strana s tvoria pravouhlý trojuholník (pravý uhol je v strede podstavy). Stranu s preto vypočítaš podľa Pytagorovej vety: s2 = r2 + v2.
Rozvinutý plášť kužeľa je kruhový výsek s polomerom s. Dĺžka jeho oblúka sa rovná obvodu podstavy 2 · π · r. Stredový uhol výseku je α = 360° · r : s a obsah plášťa π · r · s.
Pravidelný štvorboký ihlan
Podstava pravidelného štvorbokého ihlana je štvorec so stranou a. Plášť tvoria 4 zhodné rovnoramenné trojuholníky, ktoré sa stretajú vo vrchole. Výška ihlana v spája vrchol so stredom štvorca. Stenová výška vs je výška bočného trojuholníka – spája vrchol so stredom podstavnej hrany.
Výška v, polovica hrany a/2 a stenová výška vs opäť tvoria pravouhlý trojuholník, preto vs2 = v2 + (a/2)2. Pozor, nezameň v a vs – stenová výška je vždy dlhšia ako výška ihlana.
Plášť tvoria štyri trojuholníky so základňou a a výškou vs, každý má obsah (a · vs) : 2. Spolu je to 4 · (a · vs) : 2 = 2 · a · vs.
Guľa
Guľu tvoria všetky body priestoru, ktorých vzdialenosť od stredu je najviac r (polomer gule). Priemer gule je 2 · r. Guľa nemá podstavu ani plášť – ohraničuje ju jediná zakrivená plocha, guľová plocha.
Sieť gule neexistuje. Guľovú plochu nemožno rozvinúť do roviny bez natiahnutia alebo roztrhnutia – preto je každá mapa sveta trochu skreslená. Povrch gule vypočítaš len vzorcom: je rovnaký ako obsah štyroch kruhov s polomerom r.
Rez guľou
Keď guľu rozrežeš rovinou, rez je vždy kruh. Ak rovina prechádza stredom, rez je najväčší – je to kruh s polomerom r. Ak je rovina vo vzdialenosti d od stredu (d < r), má rez polomer ρ = √(r2 − d2) – opäť podľa Pytagorovej vety. Napríklad pre r = 5 cm a d = 3 cm je ρ = √(25 − 9) = √16 = 4 cm.
Kužeľ je tretina valca
Zober valec a kužeľ s rovnakou podstavou a rovnakou výškou. Keď kužeľ naplníš vodou a vyleješ ju do valca, voda siahne do tretiny výšky valca. Valec sa naplní až po troch kužeľoch. Preto má kužeľ tretinu objemu valca – vo vzorci je navyše 1/3.
Rovnako to platí pre ihlan a hranol: ihlan má tretinu objemu hranola s rovnakou podstavou a výškou. Preto je objem kvádra so štvorcovou podstavou a2 · v, ale objem ihlana 1/3 · a2 · v.
Jednotky, π a zaokrúhľovanie
| Objem | Obsah (povrch) |
|---|---|
| 1 cm3 = 1 000 mm3 = 1 ml | 1 cm2 = 100 mm2 |
| 1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 l | 1 dm2 = 100 cm2 |
| 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 l | 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 |
- Všetky rozmery najprv preveď na rovnaké jednotky.
- Objem vychádza v kubických jednotkách (cm3), povrch v štvorcových (cm2).
- S π ≈ 3,14 vyjde výsledok trochu inak ako s tlačidlom π na kalkulačke (3,14159…). Obe odpovede sú správne, ak uvedieš, s čím počítaš.
- Zaokrúhľuj až výsledok, nie medzivýsledky – inak sa chyby sčítajú.
Riešené príklady
Príklad 1 – plechovka (valec). Plechovka má tvar valca s polomerom podstavy r = 4 cm a výškou v = 11 cm. Koľko sa do nej zmestí a koľko plechu treba na jej výrobu? Počítaj s π ≈ 3,14.
- Obsah podstavy: Sp = π · r² = 3,14 · 4² = 3,14 · 16 = 50,24 cm²
- Objem: V = Sp · v = 50,24 · 11 = 552,64 cm³
- Obsah plášťa: Spl = 2 · π · r · v = 2 · 3,14 · 4 · 11 = 276,32 cm²
- Povrch: S = 2 · Sp + Spl = 2 · 50,24 + 276,32 = 376,8 cm²
Odpoveď: Do plechovky sa zmestí asi 553 cm³, teda asi 0,55 l. Na jej výrobu treba asi 377 cm² plechu.
Príklad 2 – kornútok (kužeľ). Oblátkový kornútok má tvar plášťa kužeľa (podstavu nemá). Polomer jeho otvoru je r = 2,5 cm a výška v = 6 cm. Koľko oblátky treba na jeden kornútok a koľko zmrzliny sa doň zmestí po okraj?
- Strana kužeľa (Pytagorova veta): s = √(r² + v²) = √(2,5² + 6²) = √(6,25 + 36) = √42,25 = 6,5 cm
- Obsah plášťa: Spl = π · r · s = 3,14 · 2,5 · 6,5 ≈ 51,03 cm²
- Objem: V = 1/3 · π · r² · v = 1/3 · 3,14 · 6,25 · 6 = 39,25 cm³
- Stredový uhol rozvinutého plášťa: α = 360° · r : s = 360° · 2,5 : 6,5 ≈ 138,5°
Odpoveď: Na kornútok treba asi 51 cm² oblátky a zmestí sa doň asi 39 cm³ (39 ml) zmrzliny. Celý povrch kužeľa aj s podstavou by bol S = π · r² + π · r · s = 19,625 + 51,025 = 70,65 cm².
Príklad 3 – strecha veže (ihlan). Strecha veže má tvar pravidelného štvorbokého ihlana s hranou podstavy a = 6 m a výškou v = 4 m. Koľko m² krytiny treba na strechu (podstava sa nepokrýva) a aký veľký je priestor pod strechou?
- Stenová výška: vs = √(v² + (a/2)²) = √(4² + 3²) = √25 = 5 m
- Plášť (4 trojuholníky): Spl = 2 · a · vs = 2 · 6 · 5 = 60 m²
- Objem: V = 1/3 · a² · v = 1/3 · 36 · 4 = 48 m³
Odpoveď: Na strechu treba 60 m² krytiny, pod strechou je 48 m³ (48 000 l) priestoru. Celý povrch ihlana by bol S = a² + 2 · a · vs = 36 + 60 = 96 m².
Príklad 4 – lopta (guľa). Futbalová lopta má priemer 22 cm. Vypočítaj jej objem a povrch (π ≈ 3,14).
- Polomer je polovica priemeru: r = 22 : 2 = 11 cm Pozor, do vzorcov patrí polomer, nie priemer!
- Objem: V = 4/3 · π · r³ = 4/3 · 3,14 · 11³ = 4/3 · 3,14 · 1 331 ≈ 5 572,45 cm³
- Povrch: S = 4 · π · r² = 4 · 3,14 · 121 = 1 519,76 cm²
Odpoveď: Objem lopty je asi 5 572 cm³, teda asi 5,6 l. Jej povrch je asi 1 520 cm², teda asi 15,2 dm².
🧠 Zapamätaj si
- Valec: V = π·r²·v, S = 2·π·r² + 2·π·r·v
- Kužeľ: s = √(r² + v²), V = 1/3·π·r²·v, S = π·r² + π·r·s
- Ihlan (pravidelný štvorboký): vs = √(v² + (a/2)²), V = 1/3·a²·v, S = a² + 2·a·vs
- Guľa: V = 4/3·π·r³, S = 4·π·r²; sieť gule neexistuje.
- Kužeľ (ihlan) má tretinu objemu valca (hranola) s rovnakou podstavou a výškou.
- Objem je v cm³, dm³ = l, m³; povrch v cm², dm², m². Do vzorcov dosádzaj polomer, nie priemer, a zaokrúhľuj až na konci.
Pozri aj: Pytagorova veta · Mocniny a odmocniny
Vyskúšaj si to — 3D model telesa
Vyber teleso a zadaj rozmery. Objem a povrch sa prepočítajú hneď. Model otáčaš ťahaním myšou alebo prstom, prípadne posuvníkmi pod ním. Prednastavené sú hodnoty z riešených príkladov.
Sieť gule neexistuje. Guľovú plochu nemožno rozvinúť do roviny bez natiahnutia alebo roztrhnutia. Jej povrch sa počíta len vzorcom S = 4 · π · r².