Komplexné čísla

Komplexné čísla rozširujú reálne čísla tak, aby mala riešenie aj rovnica x² + 1 = 0. Ide o rozširujúce učivo, ktoré sa preberá na seminári z matematiky. Naučíš sa s nimi počítať v algebraickom aj goniometrickom tvare, znázorniť ich v Gaussovej rovine, umocňovať ich Moivrovou vetou a hľadať n-té odmocniny.

Prečo komplexné čísla

Rovnica x² + 1 = 0 nemá v obore reálnych čísel riešenie: druhá mocnina reálneho čísla nie je nikdy záporná, takže x² = −1 platiť nemôže. Preto zavádzame nové číslo — imaginárnu jednotku i, pre ktorú platí:

Rovnica x² + 1 = 0 má potom dve riešenia, x₁ = i a x₂ = −i, lebo aj (−i)² = i² = −1.

Mocniny imaginárnej jednotky

Mocniny čísla i sa opakujú s periódou 4:

i¹ = i i² = −1 i³ = −i i⁴ = 1 i⁵ = i i⁶ = −1 …

Stačí preto exponent vydeliť štyrmi a pozrieť sa na zvyšok:

Napríklad 2023 = 4 · 505 + 3, preto i²⁰²³ = i³ = −i.

Algebraický tvar komplexného čísla

Každé komplexné číslo sa dá zapísať v algebraickom tvare:

Číslo a je reálna časť (a = Re z), číslo b je imaginárna časť (b = Im z) komplexného čísla z. Množinu všetkých komplexných čísel označujeme C. Ak b = 0, je z reálne číslo — reálne čísla sú teda súčasťou komplexných. Ak a = 0 a b ≠ 0, hovoríme o rýdzo imaginárnom čísle (napríklad 3i).

Rovnosť. Dve komplexné čísla sa rovnajú práve vtedy, keď majú rovnaké reálne časti aj rovnaké imaginárne časti: a + bi = c + di platí práve vtedy, keď a = c a zároveň b = d. Na rozdiel od reálnych čísel sa komplexné čísla nedajú porovnávať podľa veľkosti — zápis z₁ < z₂ nemá zmysel.

Sčítanie, odčítanie a násobenie

S komplexnými číslami počítame ako s dvojčlenmi, len všade nahradíme i² číslom −1:

• súčet: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• rozdiel: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
• súčin: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Napríklad (2 + 3i) + (1 − 2i) = 3 + i a (2 + 3i) − (1 − 2i) = 1 + 5i. Násobenie nájdeš v riešenom príklade 1.

Komplexne združené číslo a delenie

Ku každému číslu z = a + bi patrí komplexne združené číslo z = a − bi, ktoré sa líši len znamienkom imaginárnej časti. Súčin čísla s jeho združeným číslom je vždy nezáporné reálne číslo:

To využívame pri delení: podiel zapíšeme ako zlomok a rozšírime ho číslom komplexne združeným s menovateľom. V menovateli tak ostane reálne číslo:

Deliť sa dá každým komplexným číslom okrem nuly.

Gaussova rovina

Reálne čísla znázorňujeme na číselnej osi. Komplexné číslo má dve zložky, preto ho znázorňujeme v rovine: číslu z = a + bi priradíme bod [a; b]. Vodorovná os je reálna os (Re), zvislá je imaginárna os (Im). Takejto rovine hovoríme Gaussova rovina.

Číslo z si môžeme predstaviť aj ako vektor so začiatkom v bode [0; 0] a s koncom v bode [a; b]. Dĺžka tohto vektora je absolútna hodnota komplexného čísla — vzdialenosť bodu z od začiatku súradnicovej sústavy. Vypočítame ju z Pytagorovej vety:

Platí teda z · z = |z|². Číslo z je v Gaussovej rovine obrazom čísla z v osovej súmernosti podľa reálnej osi.

Sčítanie komplexných čísel je skladanie vektorov: súčet z₁ + z₂ je uhlopriečka rovnobežníka určeného vektormi z₁ a z₂.

Goniometrický tvar

Polohu bodu z ≠ 0 v Gaussovej rovine vieme opísať aj inak než súradnicami a, b: vzdialenosťou od začiatku |z| a uhlom φ, ktorý zviera vektor z s kladnou reálnou polosou. Uhol φ sa nazýva argument komplexného čísla. Meriame ho proti smeru hodinových ručičiek, v stupňoch alebo v radiánoch. Na tejto stránke ho berieme z intervalu ⟨0°; 360°), v radiánoch ⟨0; 2π).

Z pravouhlého trojuholníka na obrázku vidíme, že a = |z| cos φ a b = |z| sin φ. Po dosadení do z = a + bi dostaneme goniometrický tvar komplexného čísla:

Hodnoty sínusu a kosínusu základných uhlov si pripomenieš v téme Goniometrické funkcie.

Prevod z algebraického tvaru do goniometrického

1. Vypočítaj absolútnu hodnotu |z| = √(a² + b²).
2. Urči argument φ z rovníc cos φ = a : |z| a sin φ = b : |z|.

Pozor na kvadrant. Samotný podiel tg φ = b : a na určenie uhla nestačí. Čísla 1 + i a −1 − i majú rovnaký podiel b : a = 1, ale ležia v I. a v III. kvadrante (φ = 45° a φ = 225°). Najprv si preto podľa znamienok a, b ujasni, v ktorom kvadrante bod leží. Pomôže ostrý uhol α, pre ktorý tg α = |b| : |a|:

Príklady: číslo z = −1 + i má |z| = √2, leží v II. kvadrante a α = 45°, preto φ = 135° = 3π/4. Číslo z = −2i leží na zápornej imaginárnej polosi: |z| = 2, φ = 270° = 3π/2. Číslo 0 argument nemá — nulový vektor nemá smer.

Opačný prevod je jednoduchší, stačí vypočítať a = |z| cos φ a b = |z| sin φ. Napríklad 2(cos 60° + i sin 60°) = 2 · 0,5 + 2 · (√3/2) · i = 1 + i√3.

Násobenie a delenie v goniometrickom tvare

Pre čísla z₁ = |z₁|(cos φ₁ + i sin φ₁) a z₂ = |z₂|(cos φ₂ + i sin φ₂) platí:

Pri násobení sa teda absolútne hodnoty násobia a argumenty sčítajú; pri delení sa absolútne hodnoty delia a argumenty odčítajú. Geometricky: vynásobiť číslo z₁ číslom z₂ znamená otočiť vektor z₁ okolo začiatku o uhol φ₂ a natiahnuť ho |z₂|-krát. Napríklad násobenie číslom i (|i| = 1, φ = 90°) je otočenie o 90°. Ak výsledný uhol vyjde mimo intervalu ⟨0°; 360°), pripočítame alebo odčítame 360°.

Moivrova veta

Keď násobíme číslo samo sebou, jeho absolútna hodnota sa umocňuje a argument sa násobí. Pre každé prirodzené číslo n platí Moivrova veta:

Mocniny s veľkým exponentom sa tak počítajú oveľa ľahšie než postupným roznásobovaním — pozri riešený príklad 2.

n-té odmocniny komplexného čísla

n-tou odmocninou z komplexného čísla w nazývame každé komplexné číslo z, pre ktoré platí zⁿ = w. V obore komplexných čísel má každé číslo w ≠ 0 práve n rôznych n-tých odmocnín. Ak w = |w|(cos φ + i sin φ), sú to čísla:

Všetky majú rovnakú absolútnu hodnotu ⁿ√|w| (to je obyčajná odmocnina z kladného reálneho čísla) a ich argumenty sa postupne líšia o 360° : n. V Gaussovej rovine preto ležia na kružnici so stredom v začiatku a s polomerom ⁿ√|w| a tvoria vrcholy pravidelného n-uholníka (pre n = 2 sú to dva protiľahlé body kružnice). V radiánoch má argument tvar (φ + 2kπ) : n.

Napríklad −4 = 4(cos 180° + i sin 180°), takže druhé odmocniny z čísla −4 majú absolútnu hodnotu √4 = 2 a argumenty 90° a 270°: sú to čísla 2i a −2i. Skúška: (2i)² = 4i² = −4 a (−2i)² = 4i² = −4.

Kvadratická rovnica so záporným diskriminantom

V téme Kvadratické rovnice platilo, že rovnica s D < 0 nemá riešenie v obore reálnych čísel. V obore komplexných čísel riešenie má. Namiesto √D použijeme číslo i√|D|, lebo (i√|D|)² = i² · |D| = −|D| = D:

Korene sú dve komplexne združené čísla. Kvadratická rovnica s reálnymi koeficientmi má teda v obore komplexných čísel vždy riešenie.

Napríklad rovnica x² + 2x + 5 = 0 má diskriminant D = 2² − 4 · 1 · 5 = −16, takže i√|D| = 4i a x_1,2 = (−2 ± 4i) : 2 = −1 ± 2i. Skúška pre x₁ = −1 + 2i: (−1 + 2i)² = −3 − 4i, 2(−1 + 2i) = −2 + 4i a spolu −3 − 4i − 2 + 4i + 5 = 0.

Riešené príklady