Matematika4. ročník SŠUrčitý integrál

Určitý integrál

Určitý integrál odpovedá na otázku, aký veľký je obsah plochy pod grafom funkcie. Je to učivo seminára z matematiky vo 4. ročníku SŠ a nadväzuje na tému Derivácia funkcie — integrovanie je opačný postup k derivovaniu.

Problém: obsah plochy pod grafom

Obsah obdĺžnika, trojuholníka či lichobežníka vypočítame vzorcom. Ako však určiť obsah útvaru, ktorý zhora ohraničuje krivka — napríklad plochy medzi grafom funkcie y = x², osou x a priamkami x = 0 a x = 2? Na takýto útvar vzorec z planimetrie nemáme.

Myšlienka je jednoduchá: interval ⟨a; b⟩ rozdelíme na n rovnako širokých dielikov so šírkou Δx = (b − a) : n. Nad každým dielikom postavíme obdĺžnik, ktorého výška je hodnota funkcie v niektorom bode dielika. Súčet obsahov obdĺžnikov je približný obsah hľadanej plochy.

Aproximácia obdĺžnikmi

Výšku obdĺžnika môžeme zvoliť rôzne:

ľavé obdĺžniky — výška je hodnota funkcie v ľavom krajnom bode dielika,
pravé obdĺžniky — hodnota funkcie v pravom krajnom bode dielika,
stredné obdĺžniky — hodnota funkcie v strede dielika (zvyčajne najpresnejšie z tejto trojice),
lichobežníky — namiesto obdĺžnika lichobežník, ktorého horná strana spája body grafu nad krajmi dielika.

Ak na každom dieliku zoberieme za výšku najmenšiu hodnotu funkcie, dostaneme dolný súčet s; ak najväčšiu, dostaneme horný súčet S. Skutočný obsah plochy P leží medzi nimi: s ≤ P ≤ S. Funkcia y = x² je na ⟨0; 2⟩ rastúca, preto dolný súčet tvoria ľavé obdĺžniky a horný súčet pravé obdĺžniky.

Dolný súčet (ľavé obdĺžniky, n = 4):
s = 0 + 0,125 + 0,5 + 1,125 = 1,75

Horný súčet (pravé obdĺžniky, n = 4):
S = 0,125 + 0,5 + 1,125 + 2 = 3,75

Čím viac dielikov zvolíme, tým lepšie obdĺžniky kopírujú krivku a dolný aj horný súčet sa približujú k tomu istému číslu. Pre y = x² na ⟨0; 2⟩ vychádza:

metóda	n = 4	n = 10	n = 100
ľavé (dolný súčet)	1,75	2,28	2,6268
pravé (horný súčet)	3,75	3,08	2,7068
stredné	2,625	2,66	2,6666
lichobežníky	2,75	2,68	2,6668
presná hodnota	83 ≈ 2,6667

Určitý integrál

Číslo, ku ktorému sa súčty blížia pri neobmedzenom zjemňovaní delenia (n → ∞, teda Δx → 0), sa nazýva určitý integrál funkcie f od a po b:

∫ba f(x) dx = limn→∞[f(ξ₁) + f(ξ₂) + … + f(ξ_n)] · Δx

Znak ∫ vznikol z pretiahnutého písmena S (suma, súčet). Čísla a, b sú dolná a horná hranica integrálu, f(x) je integrovaná funkcia a dx pripomína šírku dielikov. Bod ξ_i (čítaj „ksí“) je ľubovoľný bod i-teho dielika. Pre funkciu spojitú na ⟨a; b⟩ táto limita vždy existuje a nezávisí od toho, ktoré body ξ_i zvolíme.

Ak je f(x) ≥ 0 na celom intervale ⟨a; b⟩, určitý integrál sa rovná obsahu plochy ohraničenej grafom funkcie, osou x a priamkami x = a, x = b.

Primitívna funkcia a neurčitý integrál

Počítať pri každej úlohe limitu súčtov by bolo prácne. Pomôže derivácia — použitá „odzadu“.

Funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f na intervale I, ak pre každé x ∈ I platí F′(x) = f(x).

Napríklad F(x) = x³ je primitívna funkcia k f(x) = 3x², lebo (x³)′ = 3x². Primitívne sú však aj x³ + 5 či x³ − 2 — konštanta sa pri derivovaní stratí. Všetky primitívne funkcie k f sa líšia len o konštantu; zapisujeme ich ako neurčitý integrál:

∫ f(x) dx = F(x) + C, C ∈ ℝ

Základné vzorce

mocnina	∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C (n ≠ −1)
konštanta	∫ k dx = kx + C
sínus	∫ sin x dx = −cos x + C
kosínus	∫ cos x dx = sin x + C
exponenciála	∫ e^x dx = e^x + C

Linearita: konštantu môžeme vybrať pred integrál a súčet integrovať po členoch:

∫ (k·f(x) + l·g(x)) dx = k·∫ f(x) dx + l·∫ g(x) dx

Mnohočlen preto integrujeme člen po člene, napríklad

∫ (6x² − 4x + 5) dx = 2x³ − 2x² + 5x + C.

Výsledok vždy overíš derivovaním: (2x³ − 2x² + 5x)′ = 6x² − 4x + 5 ✓

Newtonov–Leibnizov vzorec

Súvis medzi obsahom plochy a primitívnou funkciou vyjadruje hlavná veta integrálneho počtu. Ak je funkcia f spojitá na ⟨a; b⟩ a F je ľubovoľná jej primitívna funkcia, tak

∫ba f(x) dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a)

Zápis [F(x)]ba je len skratka pre rozdiel F(b) − F(a). Integračnú konštantu C netreba písať, pri odčítaní sa zruší: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

Vlastnosti určitého integrálu

Linearita: ∫ba (k·f(x) + l·g(x)) dx = k·∫ba f(x) dx + l·∫ba g(x) dx
Aditivita vzhľadom na hranice: pre c ∈ ⟨a; b⟩ je ∫ba f(x) dx = ∫ca f(x) dx + ∫bc f(x) dx
Rovnaké hranice: ∫aa f(x) dx = 0
Výmena hraníc: ∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx

Hodnota integrálu verzus obsah plochy

Ak je graf na ⟨a; b⟩ pod osou x (f(x) ≤ 0), všetky súčiny f(ξ_i)·Δx sú záporné, a preto aj integrál je záporný. Časť grafu pod osou x teda prispieva do integrálu záporne, hoci obsah plochy je vždy kladný.

Ak graf na intervale pretína os x, obsah plochy počítame po častiach: interval rozdelíme nulovými bodmi funkcie a sčítame absolútne hodnoty integrálov jednotlivých častí.

y = x² − 1 na ⟨0; 2⟩: časť nad osou x prispieva kladne (+), časť pod osou x záporne (−).

Plocha medzi grafmi y = x a y = x² na ⟨0; 1⟩ (príklad 3).

Na obrázku vľavo: ∫20 (x² − 1) dx = [x³3 − x]20 = 83 − 2 = 23. Na ⟨0; 1⟩ je graf pod osou x (integrál −23), na ⟨1; 2⟩ nad osou x (integrál 43). Obsah plochy je P = 23 + 43 = 2, hodnota integrálu je iba 43 − 23 = 23.

Obsah plochy medzi dvoma krivkami

Ak na intervale ⟨a; b⟩ platí f(x) ≥ g(x) (graf f je nad grafom g), obsah plochy medzi grafmi je

P = ∫ba (f(x) − g(x)) dx

Vzorec platí bez ohľadu na to, či sú grafy nad osou x alebo pod ňou. Hranicami a, b bývajú x-ové súradnice priesečníkov grafov (obrázok vpravo, príklad 3).

Aplikácia: dráha z rýchlosti

Okamžitá rýchlosť je deriváciou dráhy podľa času: v(t) = s′(t). Naopak, dráhu dostaneme integrovaním rýchlosti. Ak sa teleso pohybuje stále jedným smerom (v(t) ≥ 0), za čas od t₁ po t₂ prejde dráhu

s = ∫t₂t₁ v(t) dt

— je to obsah plochy pod grafom rýchlosti. Napríklad pri rýchlosti v(t) = 2t + 3 (v m/s) prejde teleso za prvé 4 sekundy dráhu s = ∫40 (2t + 3) dt = [t² + 3t]40 = 16 + 12 = 28 m. Kontrola: pod grafom rýchlosti je lichobežník so základňami v(0) = 3 a v(4) = 11 a výškou 4, jeho obsah je (3 + 11) · 4 : 2 = 28.

Ak rýchlosť mení znamienko (teleso sa vracia), integrál udáva len zmenu polohy; dráhu vtedy počítame po častiach z |v(t)| — rovnako ako obsah plochy.

Riešené príklady

Príklad 1: Vypočítaj ∫20 x² dx.

Primitívna funkcia k x²: F(x) = x³3 (skúška: (x³3)′ = 3x²3 = x²).
Newtonov–Leibnizov vzorec: ∫20 x² dx = [x³3]20
Dosadíme hranice: = 2³3 − 0³3 = 83 − 0 = 83

Výsledok: ∫20 x² dx = 83 ≈ 2,67. Je to presný obsah plochy pod grafom y = x² na ⟨0; 2⟩ — súčty z tabuľky vyššie sa k nemu blížia.

Príklad 2: Vypočítaj obsah plochy ohraničenej grafom funkcie y = x² − 4 a osou x.

Nulové body: x² − 4 = 0 ⇒ x₁ = −2, x₂ = 2. Plocha leží nad intervalom ⟨−2; 2⟩.
Na ⟨−2; 2⟩ je x² − 4 ≤ 0 (napr. pre x = 0 je hodnota −4), graf je pod osou x — integrál vyjde záporný.
Primitívna funkcia: F(x) = x³3 − 4x
∫2−2 (x² − 4) dx = F(2) − F(−2) = (83 − 8) − (−83 + 8) = −163 − 163 = −323
Obsah je absolútna hodnota integrálu: P = |−323| = 323 ≈ 10,67

Rovnaký výsledok dá integrál „hornej mínus dolnej“ funkcie: P = ∫2−2 (0 − (x² − 4)) dx = 323.

Príklad 3: Vypočítaj obsah plochy ohraničenej grafmi funkcií y = x a y = x².

Priesečníky: x² = x ⇒ x(x − 1) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = 1, t. j. body [0; 0] a [1; 1].
Na ⟨0; 1⟩ je priamka nad parabolou, lebo x ≥ x² (napr. pre x = 0,5 je 0,5 > 0,25).
P = ∫10 (x − x²) dx = [x²2 − x³3]10
= 12 − 13 − 0 = 16 ≈ 0,17

🧠 Zapamätaj si

Určitý integrál je limita súčtov obdĺžnikov f(ξ_i)·Δx pri zjemňovaní delenia; pre f(x) ≥ 0 je to obsah plochy pod grafom.
F je primitívna funkcia k f, ak F′ = f. Pre mocninu: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C.
Newtonov–Leibnizov vzorec: ∫ba f(x) dx = F(b) − F(a).
Časť grafu pod osou x prispieva do integrálu záporne — obsah plochy počítaj po častiach medzi nulovými bodmi a sčítaj absolútne hodnoty.
Plocha medzi krivkami: ∫ba (horná − dolná) dx.

Vyskúšaj si to — obdĺžniky a určitý integrál

Zvoľ funkciu, hranice a počet dielikov a porovnaj súčet obdĺžnikov s presnou hodnotou integrálu. Hranice a, b môžeš ťahať aj priamo v grafe po osi x.

Predvoľby

f(x) = p·x³ + q·x² + r·x + s

p (pri x³)

q (pri x²)

r (pri x)

s (abs. člen)

a (dolná hranica)

b (horná hranica)

Počet dielikov n = 4

Metóda

ľavé pravé stredné lichobežníky