Clever Quest Lab ← Matematika · 4. ročník SŠ
Matematika4. ročník SŠDerivácia funkcie

Derivácia funkcie

Derivácia hovorí, ako rýchlo sa mení hodnota funkcie. Geometricky je to smernica dotyčnice ku grafu. Pomocou nej zistíme, kde funkcia rastie a kde klesá, kde má lokálne maximum či minimum, a vyriešime aj praktické úlohy typu „kedy je objem najväčší".

Učivo seminára z matematiky. Derivácia nie je súčasťou povinného učiva podľa ŠVP ani maturitných požiadaviek z matematiky. Preberá sa na seminári, najmä ako príprava na vysokú školu.

Pripomenutie: smernica priamky

Priamka y = kx + q má smernicu k. Ak prechádza bodmi [x1; y1] a [x2; y2], tak k = (y2 − y1) : (x2 − x1). Smernica udáva, o koľko sa zmení y, keď sa x zväčší o 1: pri k > 0 priamka stúpa, pri k < 0 klesá, pri k = 0 je vodorovná. Pozri aj lineárnu funkciu.

Priemerná rýchlosť zmeny a sečnica

Graf funkcie vo všeobecnosti nie je priamka, jeho „strmosť" sa mení. Zvoľme dva body grafu: A[x0; f(x0)] a B[x0 + h; f(x0 + h)], kde h ≠ 0. Priamka AB sa nazýva sečnica grafu a jej smernica je

ks = f(x0 + h) − f(x0)h priemerná rýchlosť zmeny funkcie f na intervale medzi x0 a x0 + h

V čitateli je zmena hodnoty funkcie Δy = f(x0 + h) − f(x0), v menovateli zmena argumentu h. Ak napríklad s(t) je dráha auta v čase t, podiel (s(t0 + h) − s(t0)) : h je jeho priemerná rýchlosť za čas h.

Graf funkcie f s bodmi A a B, sečnicou AB a dotyčnicou v bode A. Vodorovná vzdialenosť bodov je h, zvislá je delta y. x y A B y = f(x) h Δy x₀ x₀ + h
Sečnica AB a dotyčnica v bode A
  • graf funkcie f
  • sečnica AB
  • dotyčnica v bode A

Od sečnice k dotyčnici: derivácia v bode

Keď sa h zmenšuje k nule (píšeme h → 0), bod B sa po grafe približuje k bodu A a sečnica sa otáča okolo bodu A. Jej smernica sa pritom blíži k jednému číslu — k smernici dotyčnice v bode A. Toto číslo nazývame derivácia funkcie f v bode x0:

f′(x0) = limh→0 f(x0 + h) − f(x0)h

Limitu tu chápeme intuitívne: je to číslo, ku ktorému sa podiel ľubovoľne blíži, keď je h dosť blízko nuly. Samotné h = 0 dosadiť nemôžeme — delili by sme nulou. Číslo h môže byť kladné (B je vpravo od A) aj záporné (B je vľavo).

Ukážka: f(x) = x2, x0 = 1. Potom (f(1 + h) − f(1)) : h = ((1 + h)2 − 1) : h = (2h + h2) : h = 2 + h.

h10,10,010,001−0,001−0,01−0,1
ks = 2 + h32,12,012,0011,9991,991,9

Smernica sečnice sa z oboch strán blíži k 2, preto f′(1) = 2: dotyčnica ku grafu y = x2 v bode [1; 1] má smernicu 2. Ak sa podiel nepribližuje k jednému číslu (napr. graf má „hrot" ako y = |x| v bode 0 — sprava je smernica 1, zľava −1), funkcia v tomto bode deriváciu nemá. Pozri aj absolútnu hodnotu.

Derivácia ako funkcia

Ak deriváciu vypočítame v každom bode x, dostaneme novú funkciu f′ — deriváciu funkcie f. Pre f(x) = x2 rovnakým výpočtom ((x + h)2 − x2) : h = 2x + h, čo sa pri h → 0 blíži k 2x. Preto (x2)′ = 2x.

Hodnota f′(x) je smernica dotyčnice v bode [x; f(x)], čiže okamžitá rýchlosť zmeny funkcie. Ak s(t) je dráha telesa, derivácia s′(t) je jeho okamžitá rýchlosť v(t). Deriváciou derivácie dostaneme druhú deriváciu f″ = (f′)′.

Pravidlá derivovania

Deriváciu nemusíme zakaždým počítať cez limitu. Stačí niekoľko pravidiel (c je konštanta, n je prirodzené číslo):

Z nich vyplýva, že mnohočlen derivujeme člen po člene:

(ax3 + bx2 + cx + d)′ = 3ax2 + 2bx + c

Súčin a podiel (stručne)

Derivácie základných funkcií

f(x)f′(x)podmienka
c0—
xnn·xn−1—
sin xcos xx v radiánoch
cos x−sin xx v radiánoch
exex—
ln x1 : xx > 0

Na seminári budeme počítať najmä s mnohočlenmi — na nich sa dajú všetky myšlienky dobre ukázať.

Rovnica dotyčnice

Dotyčnica ku grafu funkcie f v bode T[x0; f(x0)] je priamka, ktorá prechádza bodom T a má smernicu k = f′(x0). Jej rovnica je

y − f(x0) = f′(x0)·(x − x0)

Postup: 1. vypočítame f(x0), 2. zderivujeme funkciu a dosadíme x0 do f′, 3. dosadíme do rovnice a upravíme na tvar y = kx + q. Ak f′(x0) = 0, dotyčnica je vodorovná: y = f(x0).

Monotónnosť a lokálne extrémy

Znamienko derivácie prezrádza, či funkcia rastie alebo klesá — dotyčnica ku grafu rastúcej funkcie stúpa, ku grafu klesajúcej klesá.

Funkcia má v bode x0 lokálne maximum, ak f(x) < f(x0) pre všetky x ≠ x0 z nejakého okolia bodu x0; lokálne minimum, ak f(x) > f(x0). Ak má funkcia deriváciu v každom bode (napr. mnohočlen), lokálny extrém môže byť len v stacionárnom bode. O tom, či tam naozaj je, rozhoduje zmena znamienka f′:

Graf funkcie f(x) = x³ − 3x s dotyčnicami. Na intervale od mínus nekonečna po −1 je f′ kladná a funkcia rastie, na intervale od −1 po 1 je f′ záporná a funkcia klesá, od 1 ďalej opäť rastie. Lokálne maximum je v bode [−1; 2], lokálne minimum v bode [1; −2]. x y −1 1 max min f′ > 0 f′ < 0 f′ > 0 rastie klesá rastie
f(x) = x3 − 3x: kde je dotyčnica stúpajúca (f′ > 0), graf rastie; v stacionárnych bodoch x = −1 a x = 1 je dotyčnica vodorovná.
  • graf funkcie f
  • dotyčnice
  • f′ > 0, rastie
  • f′ < 0, klesá

Druhá derivácia (stručne)

Ak f′(x0) = 0 a f″(x0) < 0, má funkcia v x0 lokálne maximum; ak f″(x0) > 0, lokálne minimum. Ak f″(x0) = 0, druhá derivácia nerozhodne a treba sa pozrieť na znamienko f′. Znamienko f″ určuje aj tvar grafu: kde f″ > 0, je funkcia konvexná (graf sa prehýba ako „∪"), kde f″ < 0, je konkávna („∩").

Optimalizačná úloha: krabica s najväčším objemom

Zo štvorcového kartónu so stranou 30 cm vystrihneme v rohoch rovnaké štvorce so stranou x a zvyšok ohneme na otvorenú krabicu. Aké x treba zvoliť, aby mala krabica čo najväčší objem?

Štvorcový kartón so stranou 30 cm, v rohoch sú vystrihnuté štvorce so stranou x. Dno krabice je štvorec so stranou 30 − 2x, výška krabice je x. 30 cm x x 30 − 2x x 30 − 2x
Vľavo sieť krabice (prerušovaná čiara = ohyb), vpravo krabica: dno je štvorec so stranou 30 − 2x, výška je x.
Riešenie
  1. Objem ako funkcia jednej premennej: V(x) = x·(30 − 2x)2. Zmysel má len x ∈ (0; 15).
  2. Roznásobíme: V(x) = 4x3 − 120x2 + 900x.
  3. Derivácia: V′(x) = 12x2 − 240x + 900 = 12(x − 5)(x − 15).
  4. Stacionárne body: x = 5 alebo x = 15; číslo 15 do intervalu (0; 15) nepatrí.
  5. Na (0; 5) je V′ > 0 (objem rastie), na (5; 15) je V′ < 0 (klesá), napr. V′(1) = 672, V′(10) = −300. V bode 5 je teda maximum.
  6. Najväčší objem: V(5) = 5·202 = 2 000 cm3.

Odpoveď: Štvorce so stranou 5 cm; krabica bude mať objem 2 000 cm3 = 2 litre. (Pre porovnanie V(4) = 1 936 cm3, V(6) = 1 944 cm3.)

Postup pri optimalizačných úlohách: 1. veličinu, ktorú chceme maximalizovať (minimalizovať), vyjadríme ako funkciu jednej premennej; 2. z podmienok úlohy určíme, aké hodnoty premenná môže mať; 3. nájdeme stacionárne body; 4. overíme, že ide o hľadaný extrém (zmena znamienka f′ alebo f″); pri uzavretom intervale porovnáme aj hodnoty v krajných bodoch; 5. odpovieme na otázku úlohy.

Riešené príklady

Príklad 1 (derivácia mnohočlena): Zderivuj f(x) = 2x4 − 3x3 + 5x2 − 7x + 4 a vypočítaj f′(1).
  1. Derivujeme člen po člene: (2x4)′ = 2·4x3 = 8x3, (−3x3)′ = −9x2, (5x2)′ = 10x, (−7x)′ = −7, (4)′ = 0.
  2. Spolu: f′(x) = 8x3 − 9x2 + 10x − 7.
  3. Dosadíme: f′(1) = 8 − 9 + 10 − 7 = 2. Dotyčnica v bode [1; 1] má smernicu 2 (lebo f(1) = 1).
  4. Ešte raz zderivujeme: f″(x) = 24x2 − 18x + 10.
Príklad 2 (dotyčnica): Napíš rovnicu dotyčnice ku grafu f(x) = x3 − 2x2 + 3 v bode s x0 = 2.
  1. Hodnota: f(2) = 8 − 8 + 3 = 3, bod dotyku je T[2; 3].
  2. Derivácia: f′(x) = 3x2 − 4x, f′(2) = 12 − 8 = 4.
  3. Dosadíme: y − 3 = 4·(x − 2).
  4. Upravíme: y = 4x − 5.

Over si to nižšie v časti „od sečnice k dotyčnici" (predvoľba x3 − 2x2 + 3).

Príklad 3 (priebeh funkcie): Urči intervaly monotónnosti a lokálne extrémy funkcie f(x) = x3 − 3x.
  1. Derivácia: f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
  2. Stacionárne body: f′(x) = 0 pre x = −1 a x = 1.
  3. Znamienko f′ (napr. f′(−2) = 9, f′(0) = −3, f′(2) = 9):
    x(−∞; −1)−1(−1; 1)1(1; ∞)
    f′(x)+0−0+
    f(x)↗ rastiemax 2↘ klesámin −2↗ rastie
  4. Funkcia je rastúca na (−∞; −1⟩ a na ⟨1; ∞), klesajúca na ⟨−1; 1⟩.
  5. Lokálne maximum: f(−1) = −1 + 3 = 2, bod [−1; 2]. Lokálne minimum: f(1) = 1 − 3 = −2, bod [1; −2].
  6. Kontrola druhou deriváciou: f″(x) = 6x, f″(−1) = −6 < 0 (maximum), f″(1) = 6 > 0 (minimum).

🧠 Zapamätaj si

Vyskúšaj si to — od sečnice k dotyčnici

Zvoľ funkciu, posúvaj bod A po grafe (alebo zadaj x0) a zmenšuj krok h. Sleduj, ako sa smernica sečnice blíži k derivácii f′(x0).

f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d

Predvoľby

  • graf f
  • sečnica AB
  • dotyčnica v A
  • h a Δy

Vyskúšaj si to — graf funkcie a jej derivácie

Horný graf je funkcia f, dolný jej derivácia f′. Zelené pásy: f′ > 0 a f rastie; červené pásy: f′ < 0 a f klesá.

f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d

Predvoľby

  • f (horný graf)
  • f′ (dolný graf)
  • f′ > 0, f rastie
  • f′ < 0, f klesá
  • lokálny extrém
  • stacionárny bod bez extrému