Lineárna funkcia

Cena jazdy taxíkom rastie s počtom kilometrov, voda vo vani pribúda s časom — takéto rovnomerné závislosti opisuje lineárna funkcia. Jej graf je vždy priamka a všetko podstatné o nej prezradia dve čísla: k a q.

Pravouhlá súradnicová sústava

Pravouhlú súradnicovú sústavu tvoria dve navzájom kolmé číselné osi: vodorovná os x a zvislá os y. Pretínajú sa v bode O, ktorý sa volá počiatok a má súradnice [0; 0].

Poloha každého bodu je určená dvojicou čísel. Zápis A[3; 2] znamená: z počiatku sa posunieme o 3 doprava (x-ová súradnica) a o 2 nahor (y-ová súradnica). Záporná x-ová súradnica znamená posun doľava, záporná y-ová posun nadol. Na poradí záleží — prvá je vždy súradnica x, druhá súradnica y.

Funkcia: predpis, tabuľka, graf

Funkcia je predpis, ktorý každému číslu x priradí práve jedno číslo y. Napríklad predpis y = 2x + 1 hovorí: „vezmi x, vynásob ho dvoma a pripočítaj 1“.

Keď do predpisu dosadíme niekoľko hodnôt x, dostaneme tabuľku hodnôt:

Každý stĺpec tabuľky je jeden bod: [−2; −3], [−1; −1], [0; 1], [1; 3] a [2; 5]. Keď ich zakreslíme do súradnicovej sústavy, ležia na jednej priamke. Graf funkcie tvoria všetky body [x; y], ktorých súradnice spĺňajú predpis funkcie.

Lineárna funkcia y = kx + q

Lineárna funkcia je každá funkcia, ktorú môžeme zapísať v tvare y = kx + q. Napríklad:

• y = 2x − 3  (k = 2, q = −3)
• y = −x + 4  (k = −1, q = 4)
• y = 0,5x  (k = 0,5, q = 0)
• y = 3  (k = 0, q = 3)

Grafom lineárnej funkcie je vždy priamka. Priamka je určená dvoma bodmi, preto na zostrojenie grafu stačí vypočítať dva body. Tretí bod sa oplatí ako kontrola: ak neleží na priamke, niekde je chyba vo výpočte.

Čo prezrádza číslo q

Ak do predpisu dosadíme x = 0, dostaneme y = k · 0 + q = q. Bod [0; q] preto vždy leží na grafe — je to priesečník grafu s osou y. Číslo q hovorí, kde priamka pretína os y.

Keď zmeníme len q a k necháme rovnaké, priamka sa posunie nahor (väčšie q) alebo nadol (menšie q). Jej sklon sa nezmení, grafy sú navzájom rovnobežné.

Čo prezrádza číslo k (smernica)

Číslo k sa volá smernica. Hovorí, o koľko sa zmení y, keď x zväčšíme o 1. Z ľubovoľného bodu grafu sa posunieme o 1 doprava a o k nahor — a sme znova na grafe. Ak je k záporné, ideme nadol (napríklad pri k = −2 o 2 nadol). Pomocou takéhoto „schodíka“ nakreslíš priamku aj bez tabuľky.

• k > 0 — funkcia je rastúca: čím väčšie x, tým väčšie y. Priamka zľava doprava stúpa.
• k < 0 — funkcia je klesajúca: čím väčšie x, tým menšie y. Priamka zľava doprava klesá.
• k = 0 — funkcia je konštantná: y = q pre každé x. Graf je priamka rovnobežná s osou x (pri q = 0 s osou x splýva). Je to špeciálny prípad lineárnej funkcie.

Čím je číslo k ďalej od nuly (napríklad k = 3 alebo k = −3), tým je priamka strmšia.

Priesečník s osou x

Všetky body na osi x majú y-ovú súradnicu 0. Priesečník grafu s osou x preto nájdeme tak, že do predpisu dosadíme y = 0 a vyriešime rovnicu kx + q = 0. Pre k ≠ 0 vyjde x = −q/k.

Napríklad pre y = 2x − 3: 2x − 3 = 0, teda 2x = 3 a x = 1,5. Priesečník s osou x je P_x[1,5; 0].

Pri k = 0 (konštantná funkcia y = q) je graf rovnobežný s osou x. Ak q ≠ 0, os x vôbec nepretína. Ak q = 0, graf s osou x splýva.

Priama úmernosť ako špeciálny prípad

Ak q = 0, predpis má tvar y = kx. Takúto závislosť poznáš ako priamu úmernosť: koľkokrát sa zväčší x, toľkokrát sa zväčší y. Jej graf je priamka, ktorá prechádza počiatkom O[0; 0]. Bod O je vtedy priesečníkom s osou x aj s osou y zároveň.

Riešené príklady