Clever Quest Lab ← Matematika · 4. ročník SŠ
Matematika4. ročník SŠŠtatistika – rozptyl a smerodajná odchýlka

Štatistika – rozptyl a smerodajná odchýlka

Priemer povie, okolo akej hodnoty sa údaje sústreďujú. Rovnako dôležité je vedieť, ako veľmi sú od nej rozptýlené — to merajú variačné rozpätie, rozptyl a smerodajná odchýlka. Na konci stránky si môžeš údaje ťahať po číselnej osi a sledovať, ako sa tieto čísla menia.

Štatistický súbor

Štatistický súbor tvorí n hodnôt skúmaného znaku x1, x2, …, xn (napríklad body z testu, výšky žiakov či časy). Číslo n je rozsah súboru. Ak sa hodnoty opakujú, zapisujeme súbor aj tabuľkou početností: rôzne hodnoty x1, …, xk a ich početnosti n1, …, nk, pričom n1 + n2 + … + nk = n.

Základy (priemer, medián, modus a diagramy) nájdeš aj na stránke Štatistika a diagramy z 9. ročníka ZŠ.

Charakteristiky polohy

Charakteristiky polohy opisujú „stred“ súboru — hodnotu, okolo ktorej sa údaje sústreďujú.

Aritmetický priemer x̄

x̄ = x1 + x2 + … + xnn

Vážený aritmetický priemer použijeme pri tabuľke početností — každú hodnotu vynásobíme tým, koľkokrát sa vyskytuje:

x̄ = n1·x1 + … + nk·xkn

Medián x̃ a modus x̂

Medián x̃ je prostredná hodnota usporiadaného súboru. Údaje zoradíme vzostupne; pri nepárnom n je medián hodnota v strede, pri párnom n aritmetický priemer dvoch prostredných hodnôt. Medián delí súbor na dve polovice.

Modus x̂ je hodnota s najväčšou početnosťou. Súbor môže mať aj viac módov; ak sa každá hodnota vyskytuje práve raz, modus neurčujeme.

Kvartily Q1 a Q3

Kvartily delia usporiadaný súbor na štyri časti s približne rovnakým počtom hodnôt. Na tejto stránke ich počítame takto:

Údaje usporiadame a určíme medián. Dolný kvartil Q1 je medián dolnej polovice údajov, horný kvartil Q3 je medián hornej polovice. Pri nepárnom n sa prostredná hodnota (medián) do polovíc nezapočítava.

Iné učebnice, kalkulačky či tabuľkové programy môžu kvartily počítať trochu inak, preto sa ich výsledky môžu mierne líšiť. Medián je vlastne „druhý kvartil“ Q2.

Charakteristiky variability

Dva súbory môžu mať rovnaký priemer, a predsa sa veľmi líšiť. Body 5, 6, 7, 8, 9 aj body 2, 7, 7, 8, 11 majú priemer 7, no v druhom súbore sú hodnoty od priemeru oveľa ďalej. Rozptýlenosť (variabilitu) údajov opisujú charakteristiky variability.

Variačné rozpätie R

R = xmax − xmin

Je to rozdiel najväčšej a najmenšej hodnoty. Počíta sa ľahko, ale závisí len od dvoch krajných hodnôt — jediná nezvyčajná hodnota ho výrazne zmení.

Rozptyl s2

Odchýlka hodnoty od priemeru je rozdiel xi − x̄. Súčet všetkých odchýlok je vždy 0 (kladné a záporné sa vyrušia), preto ich najprv umocníme na druhú a potom z nich urobíme priemer. Rozptyl je priemer druhých mocnín odchýlok od aritmetického priemeru:

s2 = 1n·nΣi=1(xi − x̄)2

Podrobne: s2 = [(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2] : n. Pri výpočte je často výhodnejší výpočtový tvar — netreba počítať každú odchýlku zvlášť:

s2 = 1n·nΣi=1xi2 − x̄2

Slovami: priemer druhých mocnín mínus druhá mocnina priemeru.

Smerodajná odchýlka s

s = √s2

Rozptyl má jednotku v druhej mocnine (napr. cm2, keď sú údaje v cm), preto sa častejšie uvádza smerodajná odchýlka — má rovnakú jednotku ako údaje. Zhruba udáva, o koľko sa hodnoty typicky líšia od priemeru. V interaktívnej časti je zvýraznené pásmo ⟨x̄ − s; x̄ + s⟩.

Variačný koeficient v

v = sx̄ (· 100 %)

Variačný koeficient je pomerná (relatívna) miera variability, zvyčajne sa uvádza v percentách. Umožňuje porovnať variabilitu súborov s rôznymi priemermi alebo v rôznych jednotkách. Má zmysel pre kladné údaje (x̄ > 0); pri x̄ = 0 sa určiť nedá (delili by sme nulou).

Vlastnosti

Poznámka: niektoré kalkulačky a počítačové programy ponúkajú aj tzv. výberový rozptyl, v ktorom sa súčet druhých mocnín odchýlok delí číslom n − 1 namiesto n (používa sa, keď z malého výberu odhadujeme rozptyl celej populácie). Na kalkulačkách sa tieto dve hodnoty často označujú σx (delí n) a sx (delí n − 1). V tejto téme vždy delíme číslom n.

Výpočet z tabuľky početností

Keď sa hodnoty opakujú, nie je nutné sčítavať každú zvlášť. Ak x1, …, xk sú rôzne hodnoty a n1, …, nk ich početnosti (n = n1 + … + nk), každý člen súčtu vynásobíme jeho početnosťou:

x̄ = 1n·kΣi=1ni·xi
s2 = 1n·kΣi=1ni·(xi − x̄)2
s2 = 1n·kΣi=1ni·xi2 − x̄2

Výpočet je prehľadný v tabuľke, do ktorej postupne dopĺňame stĺpce ni·xi, xi − x̄, (xi − x̄)2 a ni·(xi − x̄)2 — pozri príklad 2.

Krabicový graf

Krabicový graf zobrazuje päť čísel: minimum, dolný kvartil Q1, medián x̃, horný kvartil Q3 a maximum. Krabica siaha od Q1 po Q3 a obsahuje približne polovicu údajov, čiara v nej je medián a fúzy vedú k najmenšej a najväčšej hodnote.

Každá zo štyroch častí krabicového grafu obsahuje približne štvrtinu (25 %) údajov.

Šírka krabice Q3 − Q1 sa volá medzikvartilové rozpätie. Aj ona meria variabilitu, no na rozdiel od R ju krajné hodnoty takmer neovplyvnia.

Odľahlé hodnoty. Podľa bežne používaného pravidla je hodnota odľahlá, ak je menšia ako Q1 − 1,5·(Q3 − Q1) alebo väčšia ako Q3 + 1,5·(Q3 − Q1). Odľahlú hodnotu nakreslíme ako samostatný bod a fúz vedie len po najmenšiu, resp. najväčšiu neodľahlú hodnotu. Odľahlé hodnoty výrazne menia priemer, rozptyl aj R; medián a kvartily sa zmenia oveľa menej.

Riešené príklady

Príklad 1 (rovnaký priemer, iný rozptyl): Dve skupiny žiakov písali test. Skupina A získala body 5, 6, 7, 8, 9, skupina B body 2, 7, 7, 8, 11. Porovnaj ich priemery a variabilitu.
  1. Priemery: x̄A = 35 : 5 = 7, x̄B = 35 : 5 = 7 — rovnaké (aj mediány sú 7).
  2. Variačné rozpätie: RA = 9 − 5 = 4, RB = 11 − 2 = 9.
  3. Skupina A — odchýlky −2; −1; 0; 1; 2, ich druhé mocniny 4; 1; 0; 1; 4, súčet 10: sA2 = 10 : 5 = 2, sA = √2 ≈ 1,41.
  4. Skupina B — odchýlky −5; 0; 0; 1; 4, ich druhé mocniny 25; 0; 0; 1; 16, súčet 42: sB2 = 42 : 5 = 8,4, sB = √8,4 ≈ 2,90.
  5. Variačné koeficienty: vA = √2 : 7 ≈ 20,2 %, vB = √8,4 : 7 ≈ 41,4 %.
  6. Záver: priemer je rovnaký, ale výsledky skupiny B sú od neho v priemere asi dvakrát ďalej — skupina B je výkonnostne rôznorodejšia. Obe skupiny si pozri v interaktívnej časti (predvoľby A a B).
Príklad 2 (výpočet tabuľkou): Známky 20 žiakov z písomky sú v prvých dvoch stĺpcoch tabuľky. Vypočítaj priemer, rozptyl a smerodajnú odchýlku.
známka xipočet nini·xixi − x̄(xi − x̄)2ni·(xi − x̄)2
144−1,52,259
2714−0,50,251,75
35150,50,251,25
43121,52,256,75
5152,56,256,25
Σ205025
  1. Rozsah súboru: n = 4 + 7 + 5 + 3 + 1 = 20.
  2. Vážený priemer: x̄ = 50 : 20 = 2,5.
  3. Doplníme stĺpce odchýlok (tabuľka vyššie) a sčítame posledný stĺpec: Σ ni·(xi − x̄)2 = 25.
  4. Rozptyl: s2 = 25 : 20 = 1,25, smerodajná odchýlka: s = √1,25 ≈ 1,12.
  5. Kontrola výpočtovým tvarom: Σ ni·xi2 = 4 + 28 + 45 + 48 + 25 = 150, s2 = 150 : 20 − 2,52 = 7,5 − 6,25 = 1,25. ✓
  6. Navyše: variačný koeficient v = √1,25 : 2,5 ≈ 44,7 %; modus je 2 (najväčšia početnosť) a medián je priemer 10. a 11. hodnoty, obe sú 2, teda x̃ = 2.
Príklad 3 (krabicový graf): Čas cesty do školy (v minútach) 11 žiakov: 5, 8, 10, 12, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 45. Zostroj krabicový graf a zisti, či sú v súbore odľahlé hodnoty.
  1. Údaje sú usporiadané, n = 11. Medián je 6. hodnota: x̃ = 15.
  2. Dolná polovica (bez mediánu) 5, 8, 10, 12, 12: Q1 = 10. Horná polovica 18, 20, 22, 25, 45: Q3 = 22.
  3. Medzikvartilové rozpätie: Q3 − Q1 = 12, 1,5 · 12 = 18.
  4. Hranice pre odľahlé hodnoty: 10 − 18 = −8 a 22 + 18 = 40. Hodnota 45 > 40, je teda odľahlá.
  5. Krabica siaha od 10 po 22, čiara mediánu je pri 15, ľavý fúz vedie po 5, pravý po 25 (najväčšia neodľahlá hodnota) a 45 nakreslíme ako samostatný bod.
  6. Priemer x̄ = 192 : 11 ≈ 17,45 je väčší ako medián 15 — odľahlá hodnota ho „ťahá“ nahor.
Bodový diagram údajov a pod osou krabicový graf: krabica od Q1 = 10 po Q3 = 22, medián 15, fúzy po 5 a 25, odľahlá hodnota 45 (prázdny krúžok).

🧠 Zapamätaj si

Vyskúšaj si to — údaje na číselnej osi

Body (údaje) ťahaj myšou alebo prstom. Kliknutím (ťuknutím) nad osou pridáš nový bod, ťuknutím na bod ho vyberieš. Údaje môžeš písať aj do poľa — čísla oddeľ medzerou alebo bodkočiarkou, desatinná čiarka je povolená.

Predvoľby

Nový bod sa pridá na priemer x̄. Odobratý bude vybraný (zvýraznený) bod, ak nie je vybraný žiadny, tak posledný.

  • údaj xi (dá sa ťahať)
  • priemer x̄
  • pásmo ⟨x̄ − s; x̄ + s⟩
  • odchýlka xi − x̄
  • štvorec s obsahom (xi − x̄)2
  • štvorec s obsahom s2
  • krabicový graf
  • odľahlá hodnota
Rozsah súboru n—
Priemer x̄—
Medián x̃—
Modus x̂—
Dolný kvartil Q1—
Horný kvartil Q3—
Variačné rozpätie R—
Rozptyl s2—
Smerodajná odchýlka s—
Variačný koeficient v—
Odľahlé hodnoty—