Úrokovanie

Keď si uložíš peniaze do banky, banka ti za to platí úrok. Keď si peniaze požičiaš, platíš úrok ty. Ukážeme si, ako sa úroky počítajú, prečo pri zloženom úrokovaní rastie vklad podľa geometrickej postupnosti a ako sa vypočíta splátka úveru.

Základné pojmy

Istina (vklad) K₀

Suma, ktorú na začiatku vložíme (alebo si požičiame).

Úroková miera p % p. a.

Koľko percent z istiny tvorí úrok za jeden rok (p. a. = per annum, ročne). Vo vzorcoch používame desatinné číslo i = p : 100, napríklad 3 % → i = 0,03.

Úrokovacie obdobie

Čas, po ktorom banka úrok vypočíta a pripíše na účet (rok, štvrťrok, mesiac).

Úrok

Odmena za požičanie peňazí. Z istiny K je úrok za jeden rok K·i.

Daň z úrokov

Z pripísaného úroku sa zráža daň, napríklad 19 % (presnú sadzbu určuje zákon a môže sa meniť). Na účet teda príde len časť úroku.

K_n

Stav vkladu po n úrokovacích obdobiach.

Jednoduché úrokovanie

Pri jednoduchom úrokovaní sa úrok počíta vždy len z pôvodnej istiny K₀. Pripísané úroky sa ďalej neúročia, preto každý rok pribudne rovnaký úrok K₀·i.

Hodnoty K₀, K₁, K₂, … tvoria aritmetickú postupnosť s diferenciou d = K₀·i, grafom sú body na priamke. V praxi sa jednoduché úrokovanie používa najmä pri úročení kratšom ako jedno úrokovacie obdobie, napríklad úrok za 3 mesiace je K₀·i·3 : 12. Pozri aj Aritmetická a geometrická postupnosť.

Zložené úrokovanie

Pri zloženom úrokovaní sa úrok na konci obdobia pripíše k vkladu a v ďalšom období sa úročí spolu s ním — vzniká „úrok z úroku“. Po každom roku sa stav vynásobí číslom 1 + i:

K₁ = K₀·(1 + i),   K₂ = K₁·(1 + i) = K₀·(1 + i)²,   K₃ = K₀·(1 + i)³, …

Hodnoty K₀, K₁, K₂, … tvoria geometrickú postupnosť s kvocientom q = 1 + i. Závislosť od počtu rokov je exponenciálna, preto zložené úrokovanie časom výrazne predbehne jednoduché (pozri Exponenciálna funkcia). Zo vzorca vieme vyjadriť aj počiatočný vklad K₀ = K_n : (1 + i)ⁿ — koľko treba vložiť dnes, aby sme o n rokov mali sumu K_n.

Za koľko rokov sa vklad zdvojnásobí?

Hľadáme n, pre ktoré (1 + i)ⁿ = 2. Rovnicu zlogaritmujeme:

Pri 3 % je n = log 2 : log 1,03 ≈ 23,45. Keďže úroky sa pripisujú na konci roka, vklad prvýkrát presiahne dvojnásobok na konci 24. roka (1,03²³ ≈ 1,974, 1,03²⁴ ≈ 2,033). Pozri aj Logaritmus a logaritmická funkcia.

Častejšie pripisovanie úrokov

Ak sa úroky pripisujú m-krát ročne (štvrťročne m = 4, mesačne m = 12), za jedno obdobie sa použije úroková miera i : m a za n rokov prebehne m·n období:

Častejšie pripisovanie dá o trochu viac, lebo úrok z úroku vzniká skôr. Porovnať rôzne ponuky pomáha efektívna ročná úroková miera — ročná miera, ktorá by pri pripisovaní raz ročne dala rovnaký výsledok:

Pri 3 % p. a. a mesačnom pripisovaní je i_ef = 1,0025¹² − 1 ≈ 0,0304, teda približne 3,04 %.

Daň z úrokov a inflácia

Ak sa z každého pripísaného úroku zráža daň so sadzbou d (napríklad 19 % → d = 0,19), na účte ostane len časť 1 − d úroku. Počítame preto s čistou úrokovou mierou:

Pri 3 % a dani 19 % je i_č = 0,03·0,81 = 0,0243, teda 2,43 %, a pri zloženom úrokovaní K_n = K₀·(1 + i_č)ⁿ.

Inflácia znamená rast cien — za rovnakú sumu si neskôr kúpime menej. Ak je inflácia vyššia ako čistá úroková miera, reálna hodnota úspor klesá, hoci suma na účte rastie.

Pravidelné sporenie

Na konci každého obdobia vložíme rovnakú sumu a. Každý vklad sa úročí len od chvíle, keď ho vložíme: prvý vklad n − 1 období, druhý n − 2 období, …, posledný vôbec. Pri mesačnom sporení je i = p : 1200 (mesačná úroková miera) a n je počet mesiacov.

Nasporená suma je súčet n členov geometrickej postupnosti s prvým členom a a kvocientom q = 1 + i:

S_n = a + a·q + a·q² + … + a·qⁿ⁻¹ = a·(qⁿ − 1) : (q − 1)

Úver a anuitná splátka

Pri úvere si požičiame sumu D a splácame ju pravidelnou rovnakou splátkou a (anuitou) na konci každého mesiaca. Z každej splátky sa najprv zaplatí úrok z aktuálneho zostatku dlhu a zvyšok, úmor, zníži dlh. Po poslednej splátke musí byť dlh nulový, preto sa hodnota dlhu úročená n mesiacov musí rovnať nasporenej hodnote všetkých splátok:

D·(1 + i)ⁿ = a·((1 + i)ⁿ − 1) : i

Odtiaľ vyjadríme splátku:

Pri mesačnom splácaní je i = p : 1200 a n je počet mesiacov. Ak je úroková miera 0 %, vzorec sa nedá použiť (delili by sme nulou) — splátka je jednoducho a = D : n.

Splátkový kalendár

Pre každý mesiac platí:

• úrok = zostatok·i (zaokrúhlený na centy),
• úmor = a − úrok,
• nový zostatok = zostatok − úmor.

Na začiatku tvorí veľkú časť splátky úrok, postupne sa zmenšuje a úmor rastie. Spolu zaplatíme približne n·a, z toho na úrokoch n·a − D. Posledná splátka sa kvôli zaokrúhľovaniu na centy môže o pár centov líšiť. Pri porovnávaní úverov sleduj RPMN (ročnú percentuálnu mieru nákladov), ktorá okrem úrokov zahŕňa aj poplatky spojené s úverom.

Riešené príklady