Logaritmus a logaritmická funkcia

Logaritmus odpovedá na otázku: na koľkú treba umocniť základ a, aby vyšlo číslo x? Je to opačná operácia k umocňovaniu. Preto logaritmická funkcia úzko súvisí s exponenciálnou funkciou a pomocou logaritmov vyriešime aj exponenciálne rovnice, pri ktorých porovnanie základov nepomôže.

Čo je logaritmus

Logaritmus kladného čísla x pri základe a je exponent y, na ktorý treba umocniť základ a, aby sme dostali x. Číslo a je základ logaritmu, číslo x je logaritmované číslo (argument logaritmu).

• log₂ 8 = 3, lebo 2³ = 8;
• log₁₀ 1 000 = 3, lebo 10³ = 1 000;
• log₅ (1/25) = −2, lebo 5⁻² = 1/25;
• log₉ 3 = 1/2, lebo 9^1/2 = √9 = 3.

Prečo práve tieto podmienky?

• a > 0 — mocnina so záporným základom nie je definovaná pre každý reálny exponent (napríklad (−4)^1/2 = √(−4) v reálnych číslach neexistuje).
• a ≠ 1 — 1^y = 1 pre každé y, takže log₁ 5 by neexistoval a log₁ 1 by mohol byť akékoľvek číslo.
• x > 0 — pre a > 0 je mocnina a^y kladná pre každé y, preto nula ani záporné čísla logaritmus nemajú.

Dekadický a prirodzený logaritmus

Dva základy sa používajú tak často, že majú vlastné označenie aj vlastné tlačidlá na kalkulačke:

• dekadický logaritmus (základ 10): log x = log₁₀ x, napríklad log 100 = 2, log 0,001 = −3;
• prirodzený logaritmus (základ e): ln x = log_e x, kde e ≈ 2,718 je Eulerovo číslo — iracionálne číslo (podobne ako π), ktoré má v matematike a prírodných vedách mimoriadne postavenie. Napríklad ln 1 = 0, ln e = 1.

Pravidlá pre počítanie s logaritmami

Pre základ a > 0, a ≠ 1, kladné čísla x, y a ľubovoľné reálne číslo n platí:

• log_a(x · y) = log_a x + log_a ylogaritmus súčinu je súčet logaritmov
• log_a(x : y) = log_a x − log_a ylogaritmus podielu je rozdiel logaritmov
• log_a(xⁿ) = n · log_a xexponent sa presunie pred logaritmus ako násobok
• log_a a = 1,  log_a 1 = 0lebo a¹ = a, a⁰ = 1
• a^{log_a x} = x,  log_a(a^y) = yumocnenie a logaritmovanie pri tom istom základe sa navzájom rušia
• log_a x = log x : log aprechod k inému základu (tu k základu 10; rovnako platí log_a x = ln x : ln a) — takto vypočítaš na kalkulačke logaritmus s ľubovoľným základom

Prečo platí pravidlo pre súčin? Označme u = log_a x a v = log_a y. Podľa definície a^u = x, a^v = y, takže x · y = a^u · a^v = a^u+v. Opäť podľa definície je log_a(x · y) = u + v. Podobne z pravidiel pre počítanie s mocninami vyplývajú aj ostatné vzťahy.

Prechod k inému základu: ak y = log_a x, tak a^y = x. Obe strany zlogaritmujeme dekadickým logaritmom: log a^y = log x, teda y · log a = log x, a odtiaľ y = log x : log a.

Logaritmická funkcia

Funkcia y = log_a x (a > 0, a ≠ 1) sa nazýva logaritmická funkcia so základom a. Je inverzná k exponenciálnej funkcii y = a^x: ak bod [u; v] leží na grafe y = a^x, potom bod [v; u] leží na grafe y = log_a x. Grafy oboch funkcií sú preto súmerné podľa priamky y = x a definičný obor s oborom hodnôt si vymenia úlohy:

Vlastnosti logaritmickej funkcie

• D = (0; ∞), H = R — logaritmus existuje len pre kladné x, ale jeho hodnotou môže byť akékoľvek reálne číslo;
• graf prechádza bodom [1; 0] (lebo log_a 1 = 0) a bodom [a; 1] (lebo log_a a = 1);
• os y (priamka x = 0) je asymptota grafu — keď sa x blíži k nule, graf sa k osi y neobmedzene približuje, ale nikdy ju nepretne;
• funkcia je prostá, nie je zdola ani zhora ohraničená, nemá maximum ani minimum;
• o tom, či funkcia rastie alebo klesá, rozhoduje základ a:

Oba grafy prechádzajú bodom [1; 0] a sú navzájom súmerné podľa osi x, lebo log_1/a x = −log_a x. Súmernosť grafov y = log_a x a y = a^x podľa priamky y = x si vyskúšaj v interaktívnom grafe nižšie.

Logaritmické rovnice

V logaritmickej rovnici je neznáma v argumente logaritmu (prípadne v jeho základe). Najčastejšie postupy:

• rovnicu upravíme na tvar log_a f(x) = c a podľa definície platí f(x) = a^c;
• rovnicu upravíme na tvar log_a f(x) = log_a g(x); keďže logaritmická funkcia je prostá, platí f(x) = g(x);
• ak sa v rovnici opakuje ten istý výraz, napríklad log x, pomôže substitúcia t = log x.

Podmienky a skúška sú nevyhnutné. Na začiatku určíme podmienky — argument každého logaritmu musí byť kladný. Úpravami podľa pravidiel sa môže obor, na ktorom má rovnica zmysel, zmeniť: výraz log x + log(x + 3) má zmysel len pre x > 0, ale výraz log[x · (x + 3)] aj pre x < −3. Preto môžu vyjsť čísla, ktoré riešením nie sú, a každý koreň musíme overiť skúškou alebo porovnaním s podmienkami.

Exponenciálne rovnice riešené logaritmovaním

Ak sa obe strany rovnice nedajú zapísať ako mocniny s rovnakým základom (ako pri 2^x = 8 = 2³, odkiaľ x = 3), rovnicu zlogaritmujeme. Pre a > 0, a ≠ 1 a b > 0 platí:

Napríklad pre 2^x = 5: log 2^x = log 5, teda x · log 2 = log 5 a x = log 5 : log 2 ≈ 0,69897 : 0,30103 ≈ 2,322.

Ak je b ≤ 0, rovnica a^x = b nemá riešenie, lebo a^x > 0 pre každé x.

Logaritmická stupnica v praxi

Keď veličina nadobúda hodnoty v obrovskom rozsahu, je praktickejšie pracovať s jej logaritmom. Na stupnici s dekadickým logaritmom zodpovedá posun o 1 desaťnásobnej zmene veličiny.

• pH — pH = −log c, kde c je číselná hodnota koncentrácie oxóniových katiónov H₃O⁺ v mol/dm³. Pre c = 0,001 je pH = −log 10⁻³ = 3. Roztok s pH 3 má desaťkrát vyššiu koncentráciu H₃O⁺ ako roztok s pH 4; čistá voda má pri 25 °C pH 7.
• decibely — hladina intenzity zvuku L = 10 · log(I : I₀) dB, kde I₀ = 10⁻¹² W/m² je prah počuteľnosti. Zvýšenie o 10 dB znamená desaťnásobnú intenzitu zvuku, zvýšenie o 3 dB približne dvojnásobnú (10 · log 2 ≈ 3).
• Na logaritmickej stupnici sa udáva aj magnitúda zemetrasení.

Riešené príklady