Priamka v analytickej geometrii

V analytickej geometrii opisujeme priamku rovnicou — súradnice všetkých jej bodov spĺňajú jednoduchý vzťah. Ukážeme si parametrické vyjadrenie, všeobecnú rovnicu a smernicový tvar priamky, prechody medzi nimi a ako pomocou nich určiť vzájomnú polohu dvoch priamok, ich odchýlku a vzdialenosť bodu od priamky.

Smerový a normálový vektor priamky

Priamka je určená dvoma rôznymi bodmi A, B. Každý nenulový vektor, ktorého umiestnenie leží na priamke p (alebo na priamke s ňou rovnobežnej), sa nazýva smerový vektor priamky p. Najjednoduchšie ho získame ako rozdiel bodov: u = B − A (pozri Vektory).

Smerových vektorov má priamka nekonečne veľa — smerovým vektorom je aj každý nenulový násobok k · u. Napríklad namiesto u = (3; −3) môžeme použiť jednoduchší vektor (1; −1).

Normálový vektor n priamky p je nenulový vektor kolmý na jej smerový vektor. Dostaneme ho tak, že súradnice vektora u vymeníme a pri jednej z nich zmeníme znamienko:

Skúška: u · n = u₁ · (−u₂) + u₂ · u₁ = 0, vektory sú teda naozaj kolmé. Aj normálových vektorov je nekonečne veľa, napríklad aj (u₂; −u₁) = −n.

Parametrické vyjadrenie priamky

Bod X leží na priamke p práve vtedy, keď sa doň z bodu A dostaneme posunutím o nejaký násobok smerového vektora u:

Číslo t je parameter — každej hodnote t zodpovedá jeden bod priamky a každý bod priamky dostaneme pre práve jednu hodnotu t. Pre A[a₁; a₂] a u = (u₁; u₂) zapíšeme parametrické vyjadrenie v súradniciach:

Ak zvolíme u = B − A, bod A dostaneme pre t = 0 a bod B pre t = 1. Obmedzením parametra dostaneme časti priamky:

• úsečka AB: X = A + t · u, t ∈ ⟨0; 1⟩;
• polpriamka AB (so začiatkom A, prechádza bodom B): t ≥ 0, t. j. t ∈ ⟨0; ∞);
• opačná polpriamka k polpriamke AB: t ≤ 0.

Parametrické vyjadrenie priamky nie je jediné — môžeme zvoliť ľubovoľný jej bod aj ľubovoľný smerový vektor. Či bod leží na priamke, zistíme dosadením: z oboch rovníc musí vyjsť rovnaké t. Napríklad pre p: x = 1 + 3t, y = 2 − 3t a bod K[7; −4] vyjde z prvej rovnice 7 = 1 + 3t, t. j. t = 2, a z druhej −4 = 2 − 3 · 2 platí — bod K na priamke leží.

Všeobecná rovnica priamky

Ak poznáme bod A[a₁; a₂] priamky a jej normálový vektor n = (a; b), bod X[x; y] leží na priamke práve vtedy, keď je vektor X − A kolmý na n, t. j. ich skalárny súčin je nulový:

Po roznásobení a označení c = −a · a₁ − b · a₂ dostaneme všeobecnú rovnicu priamky:

Koeficienty pri x a y sú súradnice normálového vektora n = (a; b). Smerový vektor z rovnice dostaneme naopak: u = (−b; a) (alebo (b; −a)). Koeficient c najčastejšie dopočítame tak, že do rovnice ax + by + c = 0 dosadíme súradnice známeho bodu.

• Rovnicu môžeme vynásobiť ľubovoľným nenulovým číslom — opisuje stále tú istú priamku. Preto koeficienty zvyčajne upravíme na celé čísla bez spoločného deliteľa, napríklad 3x + 3y − 9 = 0 vydelíme tromi: x + y − 3 = 0.
• a = 0 (rovnica by + c = 0): priamka je rovnobežná s osou x, napríklad y = 2.
• b = 0 (rovnica ax + c = 0): priamka je rovnobežná s osou y (zvislá), napríklad x = −1.
• c = 0: priamka prechádza počiatkom O[0; 0].

Bod leží na priamke práve vtedy, keď jeho súradnice spĺňajú jej rovnicu. Napríklad bod K[7; −4] leží na priamke x + y − 3 = 0, lebo 7 + (−4) − 3 = 0.

Smernicový tvar rovnice priamky

Ak priamka nie je rovnobežná s osou y, jej rovnicu vieme upraviť na tvar

— presne ako predpis lineárnej funkcie. Číslo k je smernica priamky a číslo q je y-ová súradnica priesečníka priamky s osou y, t. j. priamka pretína os y v bode [0; q].

Smernica udáva, o koľko sa zmení y, keď sa x zväčší o 1. Ak α je smerový uhol priamky, t. j. uhol, ktorý priamka zviera s kladnou polosou x (α ∈ ⟨0°; 180°), α ≠ 90°), platí

kde (u₁; u₂) je smerový vektor priamky. Zo všeobecnej rovnice s b ≠ 0 vyjadríme y: y = −(a / b) · x − c / b, teda k = −a / b a q = −c / b.

• k > 0: priamka „stúpa“ a α je ostrý uhol; k < 0: priamka „klesá“ a α je tupý uhol; k = 0: priamka je rovnobežná s osou x (α = 0°).
• Zvislá priamka x = m (rovnobežná s osou y) smernicu nemá — jej smerový uhol je 90° a tg 90° nie je definovaný; jej smerový vektor má u₁ = 0. Takú priamku v smernicovom tvare zapísať nemožno.

Úsekový tvar

Ak priamka pretína obe osi v bodoch [p; 0] a [0; q] rôznych od počiatku, jej rovnicu môžeme zapísať v úsekovom tvare

Čísla p a q sú úseky, ktoré priamka vytína na osiach x a y. Úsekový tvar nemajú priamky prechádzajúce počiatkom ani priamky rovnobežné s niektorou z osí.

Prevody medzi tvarmi

• Dva body → parametrické vyjadrenie: u = B − A, potom X = A + t · u.
• Parametrické → všeobecná rovnica: zo smerového vektora u = (u₁; u₂) urobíme normálový n = (−u₂; u₁), napíšeme −u₂x + u₁y + c = 0 a c dopočítame dosadením bodu A. Inak: z oboch rovníc vylúčime parameter t — napríklad z x = 1 + 3t, y = 2 − 3t ich sčítaním dostaneme x + y = 3, t. j. x + y − 3 = 0.
• Všeobecná rovnica → parametrické: nájdeme jeden bod priamky (zvolíme x a dopočítame y) a použijeme smerový vektor u = (−b; a).
• Všeobecná rovnica → smernicový tvar (b ≠ 0): vyjadríme y, napríklad 2x − y − 1 = 0 ⇒ y = 2x − 1.
• Smernicový tvar → všeobecná rovnica: kx − y + q = 0 a koeficienty upravíme na celé čísla.
• Bod a smernica → smernicový tvar: priamka cez bod [x₀; y₀] so smernicou k má rovnicu y − y₀ = k · (x − x₀).
• Všeobecná rovnica → úsekový tvar (a, b, c ≠ 0): c prenesieme na pravú stranu a rovnicu vydelíme číslom −c, napríklad x + y − 3 = 0 ⇒ x + y = 3 ⇒ x / 3 + y / 3 = 1.

Vzájomná poloha dvoch priamok

Dve priamky v rovine môžu byť:

• rôznobežné — majú práve jeden spoločný bod, priesečník P;
• rovnobežné rôzne — nemajú žiadny spoločný bod;
• totožné — majú všetky body spoločné.

O vzájomnej polohe priamok p a q rozhodnú ich smerové vektory u a v:

• ak vektory u, v nie sú kolineárne, t. j. u₁ · v₂ − u₂ · v₁ ≠ 0, priamky sú rôznobežné;
• ak sú kolineárne, priamky sú rovnobežné: keď ľubovoľný bod priamky q leží aj na priamke p, sú totožné, inak sú rovnobežné rôzne.

Pri všeobecných rovniciach p: a₁x + b₁y + c₁ = 0 a q: a₂x + b₂y + c₂ = 0 rovnako porovnáme normálové vektory (a₁; b₁) a (a₂; b₂). Priesečník rôznobežných priamok je riešením sústavy dvoch lineárnych rovníc — táto sústava má práve jedno riešenie. Rovnobežné rôzne priamky vedú na sústavu bez riešenia, totožné na sústavu s nekonečne veľa riešeniami. Ak je jedna z priamok zadaná parametricky, dosadíme jej x a y do rovnice druhej priamky a vypočítame t.

V smernicovom tvare: priamky y = k₁x + q₁ a y = k₂x + q₂ sú rovnobežné práve vtedy, keď k₁ = k₂; ak navyše q₁ = q₂, sú totožné.

Kolmé priamky

Rôznobežné priamky sú kolmé (p ⊥ q), ak sú kolmé ich smerové vektory, t. j. u · v = 0 (rovnako to platí pre normálové vektory). Pre priamky so smernicami k₁, k₂ platí

Napríklad priamky y = 2x + 1 a y = −0,5x + 3 sú kolmé, lebo 2 · (−0,5) = −1. Zvislá priamka je kolmá na každú vodorovnú priamku — tu vzťah pre smernice nepoužijeme, lebo zvislá priamka smernicu nemá.

Odchýlka dvoch priamok

Dve rôznobežné priamky zvierajú dva uhly, ktoré sa dopĺňajú do 180°. Odchýlka priamok je menší z nich (ak sú priamky kolmé, oba uhly majú 90°). Odchýlka rovnobežných aj totožných priamok je 0°. Pre odchýlku φ preto vždy platí φ ∈ ⟨0°; 90°⟩.

Odchýlku vypočítame zo smerových vektorov u, v podobne ako uhol dvoch vektorov, ale v čitateli je absolútna hodnota — tá zaručí, že vyjde uhol z intervalu ⟨0°; 90°⟩:

Rovnaký vzorec platí aj pre normálové vektory. Bez absolútnej hodnoty by sme dostali uhol vektorov, ktorý môže byť aj tupý — odchýlka priamok je potom 180° mínus tento uhol.

Vzdialenosť bodu od priamky

Vzdialenosť bodu M od priamky p je dĺžka úsečky MM′, kde M′ je päta kolmice vedenej z bodu M na priamku p. Je to najmenšia zo vzdialeností bodu M od bodov priamky. Pre bod M[x₀; y₀] a priamku p: ax + by + c = 0 platí

Odkiaľ vzorec pochádza: kolmica z bodu M má smerový vektor n = (a; b), teda jej body sú X = M + t · n. Po dosadení do rovnice priamky p vyjde t = −(a · x₀ + b · y₀ + c) / (a² + b²) — to je parameter päty M′. Potom d = |t| · |n|, čo po dosadení dáva vzorec vyššie. Ak d = 0, bod M leží na priamke p.

Vzdialenosť rovnobežných priamok

Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok je vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z nich od druhej priamky. Ak majú ich rovnice rovnaké koeficienty a, b, teda p: ax + by + c₁ = 0 a q: ax + by + c₂ = 0, platí

Riešené príklady