Sústavy lineárnych rovníc
Keď hľadáme dve neznáme čísla a poznáme o nich dve podmienky, zapíšeme ich ako sústavu dvoch rovníc. Naučíš sa ju riešiť dosadzovacou, sčítacou aj grafickou metódou a vopred zistiť, či má jedno riešenie, žiadne, alebo nekonečne veľa riešení.
Lineárna rovnica s dvoma neznámymi
Rovnicu tohto tvaru, kde a, b, c sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel a, b je rôzne od nuly, nazývame lineárna rovnica s dvoma neznámymi x a y. Jej riešením je každá usporiadaná dvojica reálnych čísel [x; y], ktorá po dosadení spĺňa rovnosť.
Takých dvojíc je nekonečne veľa: jednu neznámu zvolíme ľubovoľne a druhú dopočítame. Napríklad pre rovnicu 2x + y = 5 je y = 5 − 2x:
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 2,5 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 7 | 5 | 3 | 1 | 0 | −1 |
Každý stĺpec je jedno riešenie, napr. [1; 3] alebo [2,5; 0]. Na poradí v dvojici záleží: [1; 3] je riešením, ale [3; 1] nie je, lebo 2·3 + 1 = 7 ≠ 5.
Keď body [x; y] všetkých riešení zakreslíme do súradnicovej sústavy, vytvoria priamku — preto sa rovnica volá lineárna. Ak b ≠ 0, dá sa vyjadriť y = (c − a x) / b, čo je lineárna funkcia. Ak b = 0, rovnica má tvar a x = c a jej grafom je zvislá priamka x = c / a (rovnobežná s osou y). Ak a = 0, grafom je vodorovná priamka y = c / b.
Sústava dvoch rovníc
a2x + b2y = c2
Dve lineárne rovnice, ktoré majú platiť súčasne, tvoria sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Riešením sústavy je každá usporiadaná dvojica [x; y], ktorá vyhovuje obom rovniciam naraz. Riešiť sústavu znamená nájsť všetky takéto dvojice; ich množinu zapisujeme ako K, napríklad K = {[3; 2]}. Ak sústava riešenie nemá, píšeme K = ∅.
Skúška správnosti: nájdenú dvojicu dosadíme do oboch pôvodných rovníc a v každej porovnáme ľavú stranu (L) s pravou (P). Ak by sme dosadili len do jednej, chybu v druhej rovnici by sme neodhalili.
Metódy riešenia
Dosadzovacia metóda
Z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu (najvýhodnejšie tú, ktorá má koeficient 1 alebo −1) a výraz dosadíme do druhej rovnice. Dostaneme lineárnu rovnicu s jednou neznámou; vyriešime ju a druhú neznámu dopočítame.
Sčítacia metóda
Rovnice vynásobíme vhodnými nenulovými číslami tak, aby pri jednej neznámej vznikli opačné koeficienty (napr. 6y a −6y). Po sčítaní rovníc táto neznáma zmizne. Vynásobenie celej rovnice nenulovým číslom jej riešenia nemení.
Porovnávacia metóda
Z oboch rovníc vyjadríme tú istú neznámu a výrazy porovnáme. Napríklad z rovníc x + y = 5 a 2x − y = 1 je y = 5 − x a y = 2x − 1, teda 5 − x = 2x − 1, odkiaľ x = 2 a y = 3.
Grafická metóda
Každú rovnicu zobrazíme ako priamku. Riešením sústavy sú súradnice priesečníka oboch priamok — bod, ktorý leží na oboch naraz. Metóda je názorná, ale z obrázka často vieme súradnice len odhadnúť, preto výsledok overíme výpočtom.
Počet riešení sústavy
Dve priamky v rovine môžu mať práve tri rôzne vzájomné polohy — a podľa nich má sústava jedno riešenie, žiadne alebo nekonečne veľa riešení.
Či sú priamky rôznobežné, prezradí bez kreslenia číslo a1b2 − a2b1 (koeficienty pri neznámych vynásobené „do kríža“):
| Podmienka | Priamky | Počet riešení |
|---|---|---|
| a1b2 − a2b1 ≠ 0 | rôznobežné | práve jedno |
| a1b2 − a2b1 = 0 a rovnice nie sú násobkom jedna druhej | rovnobežné rôzne | žiadne (K = ∅) |
| jedna rovnica je násobkom druhej (aj s pravou stranou) | totožné | nekonečne veľa |
Ak sú všetky koeficienty druhej rovnice nenulové, to isté povedia pomery: a1/a2 ≠ b1/b2 → jedno riešenie; a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 → žiadne riešenie; a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 → nekonečne veľa riešení.
Pri výpočte sa to prejaví samo: ak po sčítaní či dosadení zmiznú obe neznáme, ostane buď nepravdivá rovnosť (napr. 0 = −1 → sústava nemá riešenie), alebo rovnosť 0 = 0, ktorá platí vždy (→ nekonečne veľa riešení).
Riešené príklady
3x − y = 7
- Z 2. rovnice vyjadríme y (má koeficient −1): y = 3x − 7
- Dosadíme do 1. rovnice: x + 2·(3x − 7) = 7
- Vyriešime: x + 6x − 14 = 7 ⇒ 7x = 21 ⇒ x = 3
- Dopočítame y: y = 3·3 − 7 = 2
- Skúška: 1. rovnica L = 3 + 2·2 = 7, P = 7; 2. rovnica L = 3·3 − 2 = 7, P = 7 — obe sedia.
K = {[3; 2]}
5x − 3y = 14
- Aby sa pri sčítaní odstránila neznáma y, potrebujeme pri nej koeficienty 6 a −6. Prvú rovnicu vynásobíme číslom 3, druhú číslom 2:
9x + 6y = 48
10x − 6y = 28 - Rovnice sčítame: 19x = 76 ⇒ x = 4
- Dosadíme do 1. rovnice: 3·4 + 2y = 16 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
- Skúška: L1 = 3·4 + 2·2 = 16 = P1, L2 = 5·4 − 3·2 = 14 = P2
K = {[4; 2]}
a) 2x − y = 3
4x − 2y = 5
- Prvú rovnicu vynásobíme číslom −2: −4x + 2y = −6
- Sčítame ju s 2. rovnicou: 0 = −1 — to je nepravdivá rovnosť.
- Žiadna dvojica nevyhovuje obom rovniciam: priamky y = 2x − 3 a y = 2x − 2,5 sú rovnobežné a rôzne. Aj kritérium to potvrdí: 2·(−2) − 4·(−1) = 0.
K = ∅
b) 2x − y = 3
6x − 3y = 9
- Druhá rovnica je trojnásobkom prvej (aj pravá strana: 3·3 = 9). Prvú rovnicu vynásobíme číslom −3 a sčítame: 0 = 0 — platí vždy.
- Priamky sú totožné; riešením je každá dvojica, ktorá spĺňa 2x − y = 3, teda y = 2x − 3. Napríklad [0; −3], [1; −1], [2; 1].
K = {[x; 2x − 3]; x ∈ ℝ}
- Označíme: x = počet detí, y = počet dospelých.
- Zostavíme sústavu (počet divákov a tržba): x + y = 120, 5x + 8y = 735
- Z 1. rovnice x = 120 − y, dosadíme do 2.: 5·(120 − y) + 8y = 735 ⇒ 600 + 3y = 735 ⇒ 3y = 135 ⇒ y = 45
- Dopočítame: x = 120 − 45 = 75
- Skúška podľa textu úlohy: 75 + 45 = 120 divákov a 5·75 + 8·45 = 375 + 360 = 735 €. Skúška do textu odhalí aj chybu pri zostavovaní rovníc.
Odpoveď: Do kina prišlo 75 detí a 45 dospelých.
🧠 Zapamätaj si
- Riešením sústavy je usporiadaná dvojica [x; y], ktorá vyhovuje obom rovniciam naraz.
- Dosadzovacia metóda: vyjadri jednu neznámu a dosaď ju do druhej rovnice. Sčítacia metóda: vynásob rovnice tak, aby sa jedna neznáma po sčítaní odstránila.
- Graficky: riešením je priesečník dvoch priamok.
- a1b2 − a2b1 ≠ 0 → práve jedno riešenie; = 0 → žiadne (vyjde 0 = číslo ≠ 0) alebo nekonečne veľa (vyjde 0 = 0).
- Vždy urob skúšku do oboch pôvodných rovníc, pri slovnej úlohe do textu úlohy.
Vyskúšaj si to — riešiteľ sústavy
a₁·x + b₁·y = c₁
a₂·x + b₂·y = c₂