Kružnica v analytickej geometrii

Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od jedného bodu — stredu — rovnakú vzdialenosť. V súradnicovej sústave ju zapíšeme rovnicou, z ktorej vyčítame stred a polomer. Pomocou nej zistíme, či priamka kružnicu pretína, dotýka sa jej alebo ju míňa, a napíšeme rovnicu dotyčnice. Na konci stránky nájdeš ako rozširujúce učivo aj ďalšie kužeľosečky — elipsu, hyperbolu a parabolu.

Kružnica a kruh

Kružnica k so stredom S a polomerom r > 0 je množina všetkých bodov X roviny, ktorých vzdialenosť od bodu S sa rovná r:

Kruh K(S; r) tvoria všetky body roviny, ktorých vzdialenosť od stredu je nanajvýš r — teda kružnica spolu so všetkými bodmi vo svojom vnútri: K(S; r) = {X ∈ ρ; |SX| ≤ r}.

Stredová rovnica kružnice

Nech má stred súradnice S[m; n] a ľubovoľný bod X súradnice [x; y]. Vzdialenosť dvoch bodov počítame rovnako ako veľkosť vektora (pozri Vektory):

Podmienku |SX| = r umocníme na druhú (obe strany sú nezáporné, takže ide o ekvivalentnú úpravu) a dostaneme stredovú rovnicu kružnice:

Bod leží na kružnici práve vtedy, keď jeho súradnice vyhovujú tejto rovnici. Ak je stred v počiatku O[0; 0], rovnica sa zjednoduší na x² + y² = r². Kruh so stredom S[m; n] a polomerom r opisuje nerovnica (x − m)² + (y − n)² ≤ r².

Napríklad kružnica so stredom S[2; −1] a polomerom 5 má rovnicu (x − 2)² + (y + 1)² = 25. Pozor na znamienka: pri n = −1 je y − n = y − (−1) = y + 1. Naopak, z rovnice (x + 3)² + y² = 7 vyčítame stred S[−3; 0] a polomer r = √7.

Všeobecná rovnica kružnice

Ak v stredovej rovnici umocníme zátvorky a všetko prevedieme na ľavú stranu, dostaneme x² + y² − 2mx − 2ny + m² + n² − r² = 0. Po označení a = −2m, b = −2n, c = m² + n² − r² má rovnica tvar

Tento tvar nazývame všeobecná rovnica kružnice. Stred ani polomer z nej priamo nevidno — získame ich doplnením na štvorec. Využijeme vzorec (x + k)² = x² + 2kx + k², z ktorého x² + 2kx = (x + k)² − k². (Rovnakú úpravu a diskriminant poznáš z kvadratických rovníc.) Tak dostaneme

O tom, čo rovnica opisuje, rozhodne znamienko pravej strany:

• pravá strana kladná — kružnica so stredom S[−a/2; −b/2] a polomerom r = √(a²/4 + b²/4 − c);
• pravá strana nulová — rovnici vyhovuje jediný bod S[−a/2; −b/2] (súčet dvoch druhých mocnín je nula, len ak sú obe nulové);
• pravá strana záporná — rovnici nevyhovuje žiadny bod, množina je prázdna (súčet druhých mocnín nemôže byť záporný).

Rovnica druhého stupňa môže opisovať kružnicu len vtedy, keď má pri x² aj y² rovnaký nenulový koeficient a neobsahuje člen so súčinom xy. Napríklad rovnicu 2x² + 2y² − 8x + 4y − 40 = 0 najprv vydelíme dvoma. Rovnica x² + 4y² − 4 = 0 kružnicu neopisuje — je to elipsa (pozri rozširujúce učivo na konci stránky).

Vzájomná poloha bodu a kružnice

Bod A leží vzhľadom na kružnicu k(S; r) vnútri, na kružnici alebo mimo nej podľa toho, či je jeho vzdialenosť od stredu menšia, rovná alebo väčšia ako r. V súradniciach dosadíme bod A[x_A; y_A] do ľavej strany stredovej rovnice a výsledok porovnáme s r²:

• (x_A − m)² + (y_A − n)² < r² — bod leží vnútri kružnice,
• (x_A − m)² + (y_A − n)² = r² — bod leží na kružnici,
• (x_A − m)² + (y_A − n)² > r² — bod leží mimo kružnice.

Ak je kružnica daná všeobecnou rovnicou, stačí dosadiť bod do výrazu x² + y² + ax + by + c. Ten sa rovná (x − m)² + (y − n)² − r², preto záporný výsledok znamená bod vnútri, nula bod na kružnici a kladný výsledok bod mimo kružnice.

Vzájomná poloha priamky a kružnice

Priamka a kružnica môžu mať dva, jeden alebo žiadny spoločný bod:

• sečnica — dva spoločné body; úsečka medzi nimi je tetiva kružnice,
• dotyčnica — práve jeden spoločný bod, bod dotyku,
• nesečnica — žiadny spoločný bod.

1. spôsob: vzdialenosť stredu od priamky

Označme d vzdialenosť stredu S[m; n] od priamky p: ax + by + c = 0 (tu písmená a, b, c označujú koeficienty rovnice priamky). Vypočítame ju vzorcom (pozri Priamka v analytickej geometrii)

a porovnáme ju s polomerom: d < r — sečnica, d = r — dotyčnica, d > r — nesečnica.

2. spôsob: riešenie sústavy rovníc

Spoločné body priamky a kružnice sú riešenia sústavy, ktorú tvorí rovnica priamky a rovnica kružnice. Z rovnice priamky vyjadríme jednu neznámu a dosadíme ju do rovnice kružnice. Dostaneme kvadratickú rovnicu a o počte jej riešení rozhodne diskriminant D:

• D > 0 — dve riešenia, priamka je sečnica,
• D = 0 — jedno (dvojnásobné) riešenie, priamka je dotyčnica,
• D < 0 — žiadne reálne riešenie, priamka je nesečnica.

Tento spôsob je pracnejší, ale okrem polohy dá aj súradnice spoločných bodov: korene kvadratickej rovnice dosadíme späť do rovnice priamky.

Dotyčnica kružnice v danom bode

Dotyčnica t kružnice v bode T je kolmá na polomer ST. Vektor ST = T − S je preto jej normálový vektor. Ak bod T[x₀; y₀] leží na kružnici (x − m)² + (y − n)² = r², dotyčnica má rovnicu (x₀ − m)(x − x₀) + (y₀ − n)(y − y₀) = 0, ktorú možno upraviť na tvar

Úprava: x − x₀ = (x − m) − (x₀ − m) a y − y₀ = (y − n) − (y₀ − n). Po roznásobení vznikne na pravej strane (x₀ − m)² + (y₀ − n)², čo je podľa rovnice kružnice práve r². Tvar sa dobre pamätá: v stredovej rovnici nahradíme v každej druhej mocnine jeden činiteľ (x − m) činiteľom (x₀ − m), rovnako pri y. Pre kružnicu so stredom v počiatku x² + y² = r² vyjde x₀x + y₀y = r².

Pozor: vzorec platí len pre bod T, ktorý leží na kružnici. Najprv to vždy over dosadením. Dotyčnicu v bode T môžeme napísať aj priamo ako priamku s normálovým vektorom ST, ktorá prechádza bodom T.

Vzájomná poloha dvoch kružníc

Pri kružniciach k₁(S₁; r₁) a k₂(S₂; r₂), kde r₁ ≥ r₂, porovnávame vzdialenosť stredov d = |S₁S₂| so súčtom a rozdielom polomerov:

• d > r₁ + r₂ — kružnice ležia zvonka jedna od druhej, nemajú spoločný bod,
• d = r₁ + r₂ — vonkajší dotyk, jeden spoločný bod,
• r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ — kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch,
• d = r₁ − r₂ > 0 — vnútorný dotyk, jeden spoločný bod,
• d < r₁ − r₂ — menšia kružnica leží vnútri väčšej, spoločný bod nemajú; pri d = 0 sú kružnice sústredné.

Ak d = 0 a zároveň r₁ = r₂, kružnice splývajú. Spoločné body dvoch kružníc nájdeme riešením sústavy ich rovníc: keď rovnice od seba odčítame, členy x² a y² sa odčítajú a zostane rovnica priamky, na ktorej spoločné body ležia.

Riešené príklady