Zhodné a podobné zobrazenia

Zobrazenia v rovine opisujú, ako sa útvar premiestni: preklopí sa, posunie, otočí, zväčší alebo zmenší. Zhodné zobrazenia zachovávajú tvar aj veľkosť útvaru, podobné zobrazenia zachovávajú tvar, ale veľkosť môžu zmeniť.

Zobrazenie v rovine

Zobrazenie v rovine je predpis, ktorý každému bodu X roviny priradí práve jeden bod X′ tej istej roviny. Bod X je vzor, bod X′ je jeho obraz. Zapisujeme napríklad O(o): A → A′ a čítame „v osovej súmernosti s osou o sa bod A zobrazí na bod A′“.

Obraz útvaru tvoria obrazy všetkých jeho bodov. Pri zobrazeniach v tejto téme sa úsečka zobrazí na úsečku, preto pri trojuholníku ABC stačí zobraziť vrcholy a obraz A′B′C′ je trojuholník s vrcholmi A′, B′, C′.

Samodružný bod je bod, ktorý sa zobrazí sám na seba: X′ = X. Samodružný útvar sa zobrazí sám na seba ako celok (jeho body sa pritom môžu navzájom vymeniť). Zobrazenie, v ktorom je samodružný každý bod roviny, sa nazýva identita.

Zhodné zobrazenia

Zobrazenie je zhodné, ak zachováva vzdialenosť bodov: pre ľubovoľné dva body X, Y a ich obrazy X′, Y′ platí

Preto zhodné zobrazenie zobrazí úsečku na rovnako dlhú úsečku, priamku na priamku, rovnobežné priamky na rovnobežné priamky a zachováva aj veľkosti uhlov. Obrazom útvaru je útvar s ním zhodný — má rovnaký tvar, rovnaké rozmery aj obsah.

Orientácia trojuholníka ABC hovorí, ako obiehame vrcholy A → B → C: proti smeru hodinových ručičiek (kladná orientácia) alebo v smere hodinových ručičiek (záporná). Zhodné zobrazenie, ktoré orientáciu zachováva, je priame; zobrazenie, ktoré ju mení, je nepriame.

Osová súmernosť O(o)

Je daná priamka o — os súmernosti. Každý bod osi sa zobrazí sám na seba. Pre bod X, ktorý na osi neleží, je obraz X′ taký bod, že os o je osou úsečky XX′: úsečka XX′ je kolmá na o a jej stred leží na o.

Samodružné body sú všetky body osi o. Osová súmernosť mení orientáciu (je nepriama) — obraz je „zrkadlovo prevrátený“.

Stredová súmernosť S(S)

Je daný bod S — stred súmernosti. Platí S′ = S a pre bod X ≠ S je obraz X′ taký bod, že S je stredom úsečky XX′.

Jediný samodružný bod je stred S. Stredová súmernosť zachováva orientáciu, priamku zobrazí na rovnobežnú priamku a je to vlastne otočenie okolo S o 180°.

Posunutie T(u)

Je daný vektor u. Obrazom bodu X je bod X′, pre ktorý platí XX′ = u — všetky body sa posunú o rovnakú vzdialenosť v rovnakom smere. O vektoroch podrobne hovorí téma Vektory.

Pre nenulový vektor nemá posunutie žiadny samodružný bod (posunutie o nulový vektor o je identita). Posunutie zachováva orientáciu a priamku zobrazí na rovnobežnú priamku.

Otočenie R(S; φ)

Je daný bod S — stred otočenia — a orientovaný uhol φ. Platí S′ = S a pre bod X ≠ S je obraz X′ bod, pre ktorý |SX′| = |SX| a orientovaný uhol XSX′ má veľkosť φ. Kladný uhol znamená otáčanie proti smeru hodinových ručičiek, záporný uhol otáčanie v smere hodinových ručičiek.

Ak φ nie je násobkom 360°, jediný samodružný bod je stred S. Otočenie zachováva orientáciu. Otočenie o 180° je stredová súmernosť: R(S; 180°) = S(S).

• vzor ABC
• obraz A′B′C′
• samodružné body
• vektor, uhol
• spojnica bod – obraz

Prehľad zhodných zobrazení

Skladanie dvoch osových súmerností

Ak bod zobrazíme najprv v osovej súmernosti O(o₁) a jeho obraz potom v O(o₂), dostaneme zložené zobrazenie. Dve zmeny orientácie sa navzájom zrušia, preto je výsledok priame zhodné zobrazenie:

• o₁ ∥ o₂ so vzdialenosťou d — posunutie o vektor kolmý na osi s veľkosťou 2d (smerom od o₁ k o₂);
• o₁ a o₂ sa pretínajú v bode S pod uhlom α (meraným od o₁ k o₂) — otočenie okolo S o uhol 2α;
• o₁ ⊥ o₂ — otočenie o 180°, teda stredová súmernosť podľa priesečníka osí;
• o₁ = o₂ — identita.

Platí dokonca, že každé zhodné zobrazenie v rovine sa dá zložiť najviac z troch osových súmerností.

Podobné zobrazenia

Zobrazenie je podobné (podobnosť) s koeficientom k > 0, ak pre ľubovoľné dva body X, Y platí

Pre k = 1 ide o zhodné zobrazenie, pre k > 1 sa útvary zväčšujú, pre k < 1 zmenšujú. Podobnosť zachováva veľkosti uhlov a pomery dĺžok, obsah útvaru sa vynásobí číslom k². Obrazom útvaru je útvar s ním podobný — pozri aj Podobnosť trojuholníkov.

Rovnoľahlosť H(S; κ)

Je daný bod S — stred rovnoľahlosti — a reálne číslo κ ≠ 0 — koeficient rovnoľahlosti. Platí S′ = S a pre bod X ≠ S je obraz X′ bod priamky SX, pre ktorý

• κ > 0: X′ leží na polpriamke SX (na tej istej strane od S ako X);
• κ < 0: X′ leží na opačnej polpriamke (na druhej strane od S);
• |κ| > 1: zväčšenie, |κ| < 1: zmenšenie;
• κ = 1: identita, κ = −1: stredová súmernosť S(S).

Rovnoľahlosť je podobnosť s koeficientom k = |κ|: priamku zobrazí na rovnobežnú priamku, zachováva uhly aj orientáciu, dĺžky násobí číslom |κ| a obsahy číslom κ². Pre κ ≠ 1 je jediný samodružný bod stred S. Každú podobnosť možno zložiť z rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia.

Súradnicové vyjadrenie

V súradnicovej sústave sa dajú obrazy jednoduchých zobrazení vypočítať priamo zo súradníc vzoru X[x; y]:

Ak stred otočenia nie je v počiatku, súradnice najprv vzťahujeme k stredu S (odčítame s₁ a s₂), otočíme a súradnice S znova pripočítame. Pre ľubovoľný uhol φ platí pri otočení okolo O: x′ = x·cos φ − y·sin φ, y′ = x·sin φ + y·cos φ (pozri Goniometrické funkcie).

Konštrukčná úloha: štvorec vpísaný do trojuholníka

Úloha: Do trojuholníka ABC s ostrými uhlami pri vrcholoch A a B vpíš štvorec KLMN tak, aby strana KL ležala na strane AB, vrchol M na strane BC a vrchol N na strane AC.

Rozbor: Štvorcov so stranou na AB a jedným vrcholom na AC je nekonečne veľa. Ľubovoľný z nich — pomocný štvorec K₁L₁M₁N₁ — sa od hľadaného líši len veľkosťou: hľadaný štvorec je jeho obrazom v rovnoľahlosti so stredom A. Rovnoľahlosť zobrazí štvorec na štvorec a priamky AB a AC (prechádzajú stredom A) sama na seba. Vrchol M preto leží na polpriamke AM₁ a zároveň na strane BC.

Postup konštrukcie:

1. Na strane AC zvoľ ľubovoľný bod N₁ a zostroj pätu K₁ kolmice z bodu N₁ na priamku AB.
2. Zostroj štvorec K₁L₁M₁N₁, ktorého strana K₁L₁ leží na polpriamke AB (vrchol L₁ je od K₁ smerom k B).
3. Zostroj polpriamku AM₁. Jej priesečník so stranou BC je vrchol M.
4. Päta kolmice z bodu M na AB je vrchol L. Rovnobežka s AB cez bod M pretne stranu AC vo vrchole N a päta kolmice z bodu N na AB je vrchol K.
5. Štvorec KLMN je obrazom pomocného štvorca v rovnoľahlosti H(A; κ), kde κ = |AM| : |AM₁|.

Diskusia: Ak sú uhly pri vrcholoch A a B ostré, polpriamka AM₁ pretne stranu BC práve v jednom bode a úloha má práve jedno riešenie.

Riešené príklady