Grafy goniometrických funkcií

Ako sa zmení sínusoida, keď funkciu vynásobíme, „stlačíme“ alebo posunieme? Naučíš sa čítať parametre a, b, c, d v predpise y = a·sin(bx + c) + d, určiť amplitúdu, periódu, posunutie a obor hodnôt a nakresliť graf krok za krokom.

Pripomenutie: grafy y = sin x a y = cos x

Hodnoty sin x a cos x sú súradnice bodu jednotkovej kružnice, ktorý zodpovedá orientovanému uhlu s veľkosťou x (v radiánoch). Grafom oboch funkcií je vlnovka — sínusoida. Podrobnejšie ich rozoberá téma Goniometrické funkcie.

Všade platí k ∈ Z. Graf kosínusu je posunutý graf sínusu: cos x = sin(x + π/2), teda graf y = cos x vznikne posunutím grafu y = sin x o π/2 doľava.

Funkcie y = a·sin(bx + c) + d a y = a·cos(bx + c) + d

Každý zo štyroch parametrov mení graf základnej funkcie y = sin x (alebo y = cos x) inak. Definičný obor sa nemení: D(f) = R.

Parameter a — amplitúda

Číslo |a| je amplitúda — najväčšia odchýlka grafu od stredovej čiary. Graf sa v smere osi y natiahne (|a| > 1) alebo stlačí (|a| < 1) |a|-krát. Ak a < 0, graf sa navyše preklopí podľa osi x: funkcia y = −2·sin x má maximum presne tam, kde y = 2·sin x má minimum. Amplitúda je v oboch prípadoch 2.

Parameter b — perióda

Ak |b| > 1, graf sa v smere osi x stlačí (napr. y = sin(2x) má periódu π). Ak |b| < 1, graf sa roztiahne (y = sin(0,5x) má periódu 4π). Záporné b perióde nevadí — rozhoduje |b|.

Parameter c — posunutie v smere osi x

Výraz v zátvorke upravíme vyňatím čísla b: bx + c = b(x + c/b). Graf sa preto posunie v smere osi x o −c/b — ak je −c/b kladné, doprava, ak je záporné, doľava.

Parameter d — posunutie v smere osi y

Graf sa posunie o d nahor (d > 0) alebo o |d| nadol (d < 0). Priamka y = d je stredová čiara — graf okolo nej kmitá hore a dole vždy o amplitúdu |a|.

Obor hodnôt, maximá, minimá a nulové body

Maximum d + |a| a minimum d − |a| nájdeme z toho, kde má základná funkcia hodnotu 1 alebo −1:

• pre y = a·sin(bx + c) + d s a > 0 je maximum tam, kde bx + c = π/2 + 2kπ, a minimum tam, kde bx + c = −π/2 + 2kπ;
• pre y = a·cos(bx + c) + d s a > 0 je maximum pre bx + c = 2kπ a minimum pre bx + c = π + 2kπ;
• pri a < 0 sa úlohy maxima a minima vymenia (graf je preklopený).

Nulové body (priesečníky s osou x) sú riešenia rovnice a·sin(bx + c) + d = 0, teda sin(bx + c) = −d/a. Rovnica má riešenie len vtedy, keď |d| ≤ |a|. Ak |d| > |a|, stredová čiara je od osi x ďalej ako amplitúda a graf os x nepretne. Ak |d| = |a|, graf sa osi x len dotkne v maximách alebo minimách. Riešenie takýchto rovníc podrobne rozoberá téma Goniometrické rovnice.

Priesečník s osou y dostaneme dosadením x = 0: [0; a·sin c + d].

Postupné transformácie grafu y = sin x

Graf funkcie y = a·sin(bx + c) + d nakreslíme zo základného grafu y = sin x v štyroch krokoch. Bezpečné poradie je b → c → a → d:

1. y = sin x → y = sin(bx): stlačenie alebo roztiahnutie v smere osi x, perióda T = 2π/|b|;
2. y = sin(bx) → y = sin b(x + c/b) = sin(bx + c): posunutie v smere osi x o −c/b;
3. → y = a·sin(bx + c): natiahnutie v smere osi y |a|-krát, pri a < 0 aj preklopenie podľa osi x;
4. → y = a·sin(bx + c) + d: posunutie v smere osi y o d.

Ukážka pre funkciu y = 2·sin(2x − π/2) − 1 — prechádzaj krokmi tlačidlami:

Graf funkcie y = tg x a jeho transformácie

Funkcia y = tg x má D(f) = R ∖ {π/2 + kπ; k ∈ Z}, H(f) = R a najmenšiu periódu π. V bodoch x = π/2 + kπ nie je definovaná — graf sa k priamkam x = π/2 + kπ (asymptotám) približuje, ale nikdy ich nepretne. Pre funkciu y = a·tg(bx + c) + d platí:

• perióda je T = π/|b| (nie 2π/|b| ako pri sínuse);
• posunutie v smere osi x o −c/b a v smere osi y o d funguje rovnako ako pri sínuse;
• asymptoty sú priamky, pre ktoré bx + c = π/2 + kπ;
• a nie je amplitúda — funkcia nie je ohraničená a H(f) = R pre každé a ≠ 0; |a| len mení „strmosť“ a pri a < 0 je funkcia na každom intervale medzi asymptotami klesajúca.

Napríklad y = tg(2x) má periódu π/2 a asymptoty 2x = π/2 + kπ, teda x = π/4 + kπ/2.

Grafy y = |sin x| a y = sin|x|

Absolútna hodnota „na vonkajšku“ a „vo vnútri“ funkcie dáva úplne iné grafy:

• y = |sin x| — časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x. H(f) = ⟨0; 1⟩, najmenšia perióda je π, funkcia je párna a nulové body sú x = kπ.
• y = sin|x| — pre x ≥ 0 je |x| = x, takže pravá časť grafu je rovnaká ako pri y = sin x. Ľavá časť je jej zrkadlovým obrazom podľa osi y. Funkcia je párna, H(f) = ⟨−1; 1⟩, ale nie je periodická.

Všeobecne: graf y = |f(x)| vznikne preklopením častí grafu pod osou x podľa osi x; graf y = f(|x|) vznikne tak, že pravú polovicu grafu (x ≥ 0) ponecháme a ľavú nahradíme jej zrkadlovým obrazom podľa osi y.

Riešené príklady