Pravdepodobnosť
Pri hode kockou nevieme vopred povedať, čo padne — vieme však presne vypočítať, aká je šanca, že padne šestka. Pravdepodobnosť je číslo od 0 do 1, ktoré túto šancu vyjadruje. Naučíš sa ju počítať klasicky, cez opačný jav aj pri nezávislých javoch a v simulácii uvidíš, ako sa relatívna početnosť pri veľkom počte pokusov približuje k teoretickej pravdepodobnosti.
Náhodný pokus a náhodný jav
Náhodný pokus je pokus (dej), ktorého výsledok nie je jednoznačne určený podmienkami, za ktorých prebieha — ak ho zopakujeme za rovnakých podmienok, môže dopadnúť zakaždým inak. Typické príklady: hod mincou, hod kockou, žrebovanie čísla, vytiahnutie guľôčky z vrecka.
- Výsledok pokusu je to, čo pri pokuse nastane (napríklad „padla trojka“). Každý pokus skončí práve jedným výsledkom.
- Množinu všetkých výsledkov označujeme Ω (omega). Pri hode kockou je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pri hode mincou Ω = {znak, hlava}.
- Náhodný jav je tvrdenie o výsledku pokusu, o ktorom po pokuse vieme rozhodnúť, či nastal. Zodpovedá mu podmnožina Ω — množina výsledkov, ktoré sú mu priaznivé. Jav „padne párne číslo“ je A = {2, 4, 6}. Javy označujeme veľkými písmenami A, B, C, …
- Istý jav nastane pri každom výsledku (zodpovedá mu celá množina Ω), napríklad „padne číslo menšie ako 7“.
- Nemožný jav nenastane nikdy (zodpovedá mu prázdna množina ∅), napríklad „padne číslo 8“.
S javmi pracujeme podobne ako s množinami:
- Opačný jav A′ (čítame „A s čiarkou“, niekde sa píše aj A s pruhom) nastane práve vtedy, keď nenastane A. Pri kocke: A = {2, 4, 6}, A′ = {1, 3, 5}.
- Zjednotenie A ∪ B nastane, ak nastane aspoň jeden z javov A, B („A alebo B“).
- Prienik A ∩ B nastane, ak nastanú oba javy súčasne („A a zároveň B“).
- Javy A, B sú nezlučiteľné (disjunktné), ak nemôžu nastať súčasne, teda A ∩ B = ∅ — napríklad „padne 1“ a „padne 6“.
Klasická pravdepodobnosť
Ak má náhodný pokus konečný počet výsledkov a všetky sú rovnako možné (žiadny nie je zvýhodnený — kocka je „poctivá“, minca nie je deformovaná), pravdepodobnosť javu A vypočítame ako
kde m je počet výsledkov priaznivých javu A a n je počet všetkých výsledkov pokusu.
- Keďže 0 ≤ m ≤ n, platí vždy 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Nemožný jav má pravdepodobnosť 0, istý jav pravdepodobnosť 1.
- Pravdepodobnosť často vyjadrujeme aj v percentách: P = 0,25 = 25 %.
nemožný jav
padne 8 na kocke
rovnaká šanca
padne znak
istý jav
padne číslo menšie ako 7
Pozor: vzorec m/n platí len pre rovnako možné výsledky. Pri hode dvoma kockami môže padnúť 11 rôznych súčtov (2 až 12), tie však nie sú rovnako možné: súčet 2 vznikne len ako [1; 1], súčet 7 až šiestimi spôsobmi. Preto počítame s 36 rovnako možnými dvojicami [číslo na 1. kocke; číslo na 2. kocke], nie s 11 súčtami.
Opačný jav
Jav A a jeho opačný jav A′ sa navzájom vylučujú a spolu pokrývajú všetky výsledky, preto P(A) + P(A′) = 1. Opačný jav sa oplatí najmä v úlohách so slovom „aspoň“: namiesto rátania všetkých možností „aspoň jeden …“ vypočítame pravdepodobnosť javu „ani jeden …“ a odčítame ju od 1.
Pravdepodobnosť zjednotenia javov
Ak sú javy A, B nezlučiteľné (A ∩ B = ∅), ich pravdepodobnosti sa sčítajú:
Napríklad pri hode kockou je P(padne 1 alebo 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Ak javy nezlučiteľné nie sú, výsledky z prieniku A ∩ B by sme pri sčítaní započítali dvakrát, preto ich raz odčítame:
Napríklad A = „padne párne číslo“ = {2, 4, 6}, B = „padne číslo väčšie ako 3“ = {4, 5, 6}. Prienik je A ∩ B = {4, 6}, a teda P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3. Skúška: A ∪ B = {2, 4, 5, 6} má naozaj 4 prvky zo 6.
Nezávislé javy
Javy A, B sú nezávislé, ak nastatie jedného z nich nemení pravdepodobnosť druhého. Typicky ide o výsledky rôznych pokusov, ktoré sa navzájom neovplyvňujú: hod mincou a hod kockou, dva hody tou istou kockou, žrebovanie s vrátením. Pre nezávislé javy platí
Napríklad hodíme mincou aj kockou: P(padne znak a zároveň šestka) = 1/2 · 1/6 = 1/12. Skúška: pokus má 2 · 6 = 12 rovnako možných výsledkov a priaznivý je jediný.
Pozor: nezávislé javy nie sú to isté ako nezlučiteľné. Nezlučiteľné javy s nenulovou pravdepodobnosťou dokonca nikdy nie sú nezávislé — keď nastane jeden z nich, druhý už nastať nemôže.
Relatívna početnosť a štatistická pravdepodobnosť
Pravdepodobnosť sa dá odhadnúť aj z opakovania pokusu — to je jediná možnosť, keď výsledky nie sú rovnako možné (napríklad či pripináčik padne hrotom nahor, alebo nabok). Ak pokus zopakujeme n-krát a jav A pri tom nastane m-krát, číslo m je početnosť javu A a podiel
je jeho relatívna početnosť. Pozor na význam písmen: tu je n počet vykonaných pokusov a m počet pokusov, v ktorých jav A nastal.
Pri malom počte pokusov relatívna početnosť dosť kolíše — po 10 hodoch mincou pokojne vyjde 0,3 alebo 0,7. S rastúcim počtom pokusov sa však ustaľuje okolo istého čísla, ktoré nazývame štatistická pravdepodobnosť javu A. Pri rovnako možných výsledkoch sa ustaľuje práve okolo klasickej pravdepodobnosti.
Francúzsky prírodovedec G. L. Buffon hodil mincou 4 040-krát a zvolená strana padla 2 048-krát, relatívna početnosť bola 2 048/4 040 ≈ 0,507. Anglický štatistik K. Pearson pri 24 000 hodoch dostal 12 012 výskytov, teda 0,5005. Vyskúšaj si to v simulácii nižšie — počítač zvládne tisíce hodov za okamih.
Riešené príklady
- Všetky výsledky: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n = 6
- Priaznivé výsledky: A = {2, 4, 6}, m = 3
- Pravdepodobnosť: P(A) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50 %
- Výsledok je dvojica [číslo na 1. kocke; číslo na 2. kocke], všetkých dvojíc je n = 6 · 6 = 36 a sú rovnako možné.
- Priaznivé dvojice: [1; 6], [2; 5], [3; 4], [4; 3], [5; 2], [6; 1], teda m = 6
- Pravdepodobnosť: P = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167 ≈ 16,7 %
Súčet 7 je zo všetkých súčtov najpravdepodobnejší — over si to v tabuľke nižšie.
- Jav A = „padne aspoň jedna šestka“ má veľa možností (jedna, dve, tri alebo štyri šestky). Jednoduchší je opačný jav A′ = „nepadne ani jedna šestka“.
- Pri jednom hode nepadne šestka s pravdepodobnosťou 5/6. Hody sú nezávislé, preto pravdepodobnosti násobíme: P(A′) = (5/6)⁴ = 625/1 296
- Opačný jav: P(A) = 1 − 625/1 296 = 671/1 296 ≈ 0,518 ≈ 51,8 %
Častá chyba je sčítať 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3. Šestky v jednotlivých hodoch nie sú nezlučiteľné javy (môžu padnúť aj naraz v dvoch hodoch), preto sa ich pravdepodobnosti sčítať nesmú.
- Na poradí nezáleží, výsledkom je dvojprvková skupina guľôčok. Počet všetkých výsledkov je kombinačné číslo (čítame „8 nad 2“): n = 8 nad 2 = (8 · 7)/2 = 28
- Priaznivé sú dvojice z 5 červených guľôčok: m = 5 nad 2 = (5 · 4)/2 = 10
- Pravdepodobnosť: P(A) = 10/28 = 5/14 ≈ 0,357 ≈ 35,7 %
- Bonus cez opačný jav: P(aspoň jedna modrá) = 1 − 5/14 = 9/14 ≈ 0,643
Kombinačné čísla podrobne preberá kombinatorika; tu stačí vedieť, že n nad 2 = n · (n − 1)/2 je počet dvojíc, ktoré sa dajú vybrať z n prvkov.
🧠 Zapamätaj si
- P(A) = m/n (priaznivé / všetky) platí len pre rovnako možné výsledky; vždy 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Opačný jav: P(A′) = 1 − P(A) — úlohy typu „aspoň jeden“ rieš cez „ani jeden“.
- Nezlučiteľné javy: P(A ∪ B) = P(A) + P(B); inak treba odčítať P(A ∩ B).
- Nezávislé javy: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Relatívna početnosť m/n sa pri veľkom počte pokusov ustaľuje okolo pravdepodobnosti; pri malom počte pokusov sa od nej môže výrazne líšiť.
Vyskúšaj si to — javy pri hode dvoma kockami
Hádžeme dvoma kockami, 1. a 2. kockou. Všetkých 36 dvojíc je rovnako možných. Vyber jav a pozri sa, ktoré políčka sú preň priaznivé.
Vyskúšaj si to — simulácia pokusov
Počítač hádže mincou alebo kockami náhodne. Sleduj, ako sa relatívna početnosť javu s rastúcim počtom pokusov ustaľuje okolo teoretickej pravdepodobnosti (oranžová prerušovaná čiara).