Číselné sústavy

To isté číslo sa dá zapísať rôznymi spôsobmi. Ľudia počítajú v desiatkovej sústave, počítače v dvojkovej a programátori si dlhé rady núl a jednotiek skracujú šestnástkovou. Tu sa naučíš, ako pozičné sústavy fungujú, ako medzi nimi prevádzať čísla a ako počítač zapisuje záporné čísla.

Pozičná číselná sústava

V pozičnej číselnej sústave závisí hodnota číslice od miesta (rádu), na ktorom v čísle stojí. V čísle 505 znamená ľavá päťka päť stoviek, pravá len päť jednotiek. Rímske číslice pozičnou sústavou nie sú — znak X má hodnotu desať, nech stojí kdekoľvek.

Každú pozičnú sústavu určuje jej základ z (prirodzené číslo väčšie ako 1):

• sústava používa práve z rôznych číslic: 0, 1, …, z − 1,
• rády číslujeme sprava od nuly a rád k má váhu z^k, teda mocninu základu,
• hodnota čísla je súčet súčinov číslica · váha. Tomuto súčtu hovoríme rozvinutý zápis čísla.

Každé nenulové číslo umocnené na nultú je 1 (z⁰ = 1), preto má rád úplne vpravo vždy váhu 1. Ak si potrebuješ zopakovať mocniny, pozri tému Mocniny a odmocniny.

Desiatková sústava ako známy príklad

Desiatková (dekadická) sústava má základ 10, číslice 0 až 9 a váhy rádov 1, 10, 100, 1000, … Rozvinutý zápis čísla 2705:

2705 = 2 · 10³ + 7 · 10² + 0 · 10¹ + 5 · 10⁰

Súčet súčinov: 2000 + 700 + 0 + 5 = 2705.

Aby bolo jasné, v ktorej sústave je číslo zapísané, píšeme základ ako dolný index: 1011₂, 234₈, 156₁₀, 9C₁₆. Číslo bez indexu je v desiatkovej sústave.

Dvojková, osmičková a šestnástková sústava

V informatike sa popri desiatkovej sústave používajú najmä tri ďalšie:

Šestnástková sústava potrebuje 16 číslic, preto po deviatke pokračuje písmenami: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Prečo počítače pracujú v dvojkovej sústave

Elektronické súčiastky počítača (tranzistory) spoľahlivo rozlíšia dva stavy: vyššie a nižšie napätie, zapnuté a vypnuté. Dva stavy stačia práve na dve číslice, 0 a 1. Keby mal obvod rozlišovať desať úrovní napätia, stačilo by malé rušenie a číslica by sa prečítala nesprávne. Preto sú všetky údaje v počítači — čísla, texty, obrázky aj zvuk — uložené ako rady núl a jednotiek.

Bit a bajt

Bit (z anglického binary digit, značka b) je jedna dvojková číslica, teda 0 alebo 1. Je to najmenšia jednotka informácie. Osem bitov tvorí bajt (značka B).

Každý pridaný bit zdvojnásobí počet možností, preto n bitmi zapíšeme 2ⁿ rôznych hodnôt — čísla od 0 po 2ⁿ − 1.

Jeden bajt má teda 2⁸ = 256 hodnôt a zapíšeme ním čísla 0 až 255.

Čísla 0 až 15 v štyroch sústavách

Dvojkové zápisy sú dlhé a ľahko sa v nich pomýlime. Osmičková a šestnástková sústava slúžia ako ich skrátený zápis — prečo to ide tak ľahko, uvidíš pri rýchlych prevodoch. Dvojkové čísla sú v tabuľke doplnené nulami na štyri bity. Stĺpce dvojkovej a šestnástkovej sústavy sa oplatí vedieť naspamäť.

Prevod z desiatkovej sústavy: postupné delenie

Číslo z desiatkovej sústavy prevedieme do sústavy so základom z postupným delením:

1. Číslo vydeľ základom z a zapíš podiel aj zvyšok.
2. Podiel znova vydeľ základom. Opakuj, kým podiel nie je 0.
3. Zvyšky prečítaj odspodu nahor (od posledného k prvému). Sú to číslice výsledku.

Prečo odspodu? Prvý zvyšok hovorí, koľko jednotiek zostalo po rozdelení čísla do skupín po z — je to číslica najnižšieho rádu. Každé ďalšie delenie dáva číslicu o rád vyššie, takže posledný zvyšok je číslica úplne vľavo.

Prevod čísla 45 do dvojkovej sústavy:

Výsledok: 45₁₀ = 10 1101₂. Dlhšie dvojkové čísla píšeme pre prehľadnosť v skupinách po štyroch bitoch, počítaných sprava.

Pri prevode do šestnástkovej sústavy delíme číslom 16 a zvyšky 10 až 15 zapíšeme písmenami A až F. Napríklad pre číslo 500: 500 : 16 = 31, zvyšok 4; 31 : 16 = 1, zvyšok 15 (F); 1 : 16 = 0, zvyšok 1. Zvyšky odspodu sú 1, F, 4, teda 500₁₀ = 1F4₁₆.

Prevod do desiatkovej sústavy: rozvinutý zápis

Opačným smerom stačí napísať rozvinutý zápis: každú číslicu vynásobíme váhou jej rádu a súčiny sčítame.

1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Rovnako v ostatných sústavách — šestnástkové písmená len nahradíme ich hodnotou (F = 15):

7F₁₆ = 7 · 16¹ + 15 · 16⁰ = 112 + 15 = 127₁₀

777₈ = 7 · 8² + 7 · 8¹ + 7 · 8⁰ = 448 + 56 + 7 = 511₁₀

V dvojkovej sústave je to obzvlášť jednoduché: stačí sčítať váhy tých rádov, v ktorých je číslica 1.

Rýchle prevody medzi sústavami 2, 8 a 16

Keďže 8 = 2³ a 16 = 2⁴, medzi týmito sústavami netreba prevádzať cez desiatkovú:

• jedna osmičková číslica = trojica bitov,
• jedna šestnástková číslica = štvorica bitov.

Z dvojkovej sústavy

Dvojkové číslo rozdelíme sprava na štvorice (pre šestnástkovú sústavu) alebo trojice (pre osmičkovú). Ak ľavej skupine chýbajú bity, doplníme zľava nuly. Každú skupinu potom nahradíme jednou číslicou. Pre číslo 10 1101 0111₂ (doplnené nuly sú podčiarknuté):

Štvorice dávajú 10 1101 0111₂ = 2D7₁₆. To isté číslo po trojiciach:

Trojice dávajú 10 1101 0111₂ = 1327₈.

Do dvojkovej sústavy

Opačne každú číslicu rozpíšeme na štvoricu (pri osmičkovej sústave trojicu) bitov — vždy na plný počet, aj s nulami na začiatku. Nuly na začiatku celého čísla napokon vynecháme.

Teda A3₁₆ = 1010 0011₂. Podobne 52₈: číslica 5 je 101 a číslica 2 je 010, spolu 10 1010₂.

Medzi osmičkovou a šestnástkovou sústavou prevádzame cez dvojkovú: číslice rozpíšeme na bity a tie preskupíme.

Prečo to funguje

Štvorica bitov má hodnotu od 0000₂ = 0 po 1111₂ = 15, teda presne toľko, koľko jedna šestnástková číslica. Váhy ďalšej štvorice (16, 32, 64, 128) sú šestnásťnásobkom váh prvej štvorice (1, 2, 4, 8). Celá štvorica sa preto násobí číslom 16 — rovnako ako ďalší rád v šestnástkovej sústave:

1001 1100₂ = (8 + 0 + 0 + 1) · 16 + (8 + 4 + 0 + 0) = 9 · 16 + 12 = 9C₁₆

Pre trojice bitov a osmičkovú sústavu platí to isté, lebo 8 = 2³.

Sčítanie v dvojkovej sústave

Dvojkové čísla sčítavame pod sebou ako desiatkové, len prenos do vyššieho rádu vzniká už pri súčte 2:

0 + 0 = 0,  0 + 1 = 1,  1 + 1 = 10₂,  1 + 1 + 1 = 11₂

Pri 1 + 1 teda píšeme 0 a prenášame 1. Pri 1 + 1 + 1 píšeme 1 a prenášame 1. Príklad 1011₂ + 0110₂:

Výsledok je 1 0001₂. Skúška v desiatkovej sústave: 11 + 6 = 17 a 1 0001₂ = 16 + 1 = 17. Všimni si, že súčet má päť bitov, hoci sčítance mali len štyri.

Záporné čísla: dvojkový doplnok

Počítač nemá kam napísať znamienko mínus — aj záporné číslo musí uložiť len pomocou núl a jednotiek. Najčastejšie na to používa dvojkový doplnok (doplnkový kód) na pevnom počte bitov n, napríklad 8, 16 alebo 32.

Nezáporné číslo sa zapíše obyčajne dvojkovo a zľava sa doplní nulami na n bitov. Záporné číslo −x dostaneme v troch krokoch:

1. zapíšeme x dvojkovo na n bitov,
2. invertujeme všetky bity (z 0 urobíme 1 a z 1 urobíme 0),
3. pripočítame 1.

Vlastnosti dvojkového doplnku na n bitoch:

• Najvyšší (ľavý) bit je znamienkový: 0 znamená nezáporné číslo, 1 záporné. Tento bit má zápornú váhu −2ⁿ⁻¹, ostatné bity majú bežné kladné váhy.
• Rozsah je −2ⁿ⁻¹ až 2ⁿ⁻¹ − 1. Na 8 bitoch je to −128 až 127, na 16 bitoch −32 768 až 32 767.
• Sčítanie funguje rovnako pre kladné aj záporné čísla, takže počítaču stačí jeden obvod na sčítanie. Prenos z najvyššieho bitu sa zahodí: 5 + (−5) je 0000 0101 + 1111 1011 = 1 0000 0000, na 8 bitoch teda 0.

Ten istý rad bitov môže znamenať dve rôzne čísla — podľa toho, či ho čítame ako číslo bez znamienka, alebo v dvojkovom doplnku:

Zápis v dvojkovom doplnku prečítame tak, že sčítame váhy jednotkových bitov a váhu najvyššieho bitu berieme zápornú: 1000 0001 je −128 + 1 = −127.

Pretečenie. Ak sa výsledok výpočtu do rozsahu nezmestí, nastane pretečenie (anglicky overflow): na 8 bitoch dá 127 + 1 rad 1000 0000, čo je v dvojkovom doplnku −128. Väčšina programovacích jazykov pritom žiadnu chybu neohlási — výsledok je jednoducho nesprávny.

Kde sa so sústavami stretneš

• Farby na webe. Zápis #FF8800 sú tri bajty v šestnástkovej sústave: červená FF₁₆ = 255, zelená 88₁₆ = 136 a modrá 00₁₆ = 0. Vznikne oranžová . Každá zložka má 256 úrovní, spolu je to 256³ = 16 777 216 farieb.
• Adresy. Adresy v pamäti, adresy MAC sieťových kariet (napríklad 00:1A:2B:3C:4D:5E) a adresy IPv6 sa píšu šestnástkovo. Adresa IPv4, napríklad 192.168.1.10, sú štyri bajty zapísané desiatkovo — každé z čísel je preto od 0 do 255.
• Prístupové práva. V Linuxe sa práva k súboru zapisujú osmičkovo, napríklad chmod 754. Každá číslica sú tri bity pre čítanie, zápis a spustenie (r, w, x): 7 = 111₂ = rwx, 5 = 101₂ = r-x, 4 = 100₂ = r--.
• Veľkosti súborov. Veľkosť súborov a pamäte sa často počíta v mocninách dvoch: 1 KiB = 2¹⁰ B = 1024 B, 1 MiB = 2²⁰ B = 1 048 576 B. Predpony kilo a mega však znamenajú 1000 a 1 000 000, preto disk predávaný ako 500 GB má len približne 465,7 GiB.

Riešené príklady

Pozri aj

• Deliteľnosť, NSD a NSN — delenie so zvyškom, na ktorom stojí postupné delenie.
• Výroková logika a pravdivostné tabuľky — hodnoty 0 a 1, s ktorými počítajú logické obvody.
• Podrobnejší nástroj v angličtine: Two's Complement Calculator.