Stavová rovnica ideálneho plynu

Plynnú látku alebo teleso môžeme charakterizovať pomocou stavových veličín. Tie definujú konkrétny stav telesa a ak je tento stav ustálený, tak svoju hodnotu nemenia. Medzi stavové veličiny popisujúce plyn patrí:

Počet molekúl plynu (N): hovorí o tom, koľko molekúl plynu sa v látke nachádza, počet molekúl je daný absolútnym číslom.
Látkové množstvo (n): hovorí o tom, koľko molekúl plynu sa v látke nachádza, počet molekúl je prerátaný na moly, takže jednotkou je jeden mol.
Hmotnosť plynu (m): akú hmotnosť má uvažovaný plyn, meria sa v gramoch alebo v kilogramoch.
Tlak plynu (p): súvisí s nárazmi molekúl na steny nádoby, v ktorej je plyn uzavretý. Čím viac je nárazov, tým je tlak vyšší. Čím silnejšie sú nárazy (vďaka vyššej rýchlosti molekúl), tým je tlak vyšší. Tlak je meraný v Pascaloch (Pa), ale udáva sa častejšie v kPa, MPa, prípadne v atmosférach (atm) a baroch (bar). 1 atm = 101325 Pa; 1 bar = 100000 Pa
Objem plynu (V): je rovnaký ako objem nádoby, v ktorej sa plyn nachádza. Meria sa v metroch kubických (m³), alebo litroch (l).
Teplota plynu (T): je mierou kinetickej energie molekúl plynu. Čím väčšia teplota plynu, tým väčšia kinetická energia častíc. Ak sa pozrieme na teplotu a molekuly jedného plynu, potom zvyšovaním teploty sa zvyšuje rýchlosť častíc. Meria sa v Kelvinoch.

Uvažujme, ako tieto stavové veličiny navzájom medzi sebou súvisia. Pre zjednodušenie budeme brať do úvahy 4 veličiny: látkové množstvo, tlak plynu, objem a teplotu. Neskôr si ukážeme, ako počítať s hmotnosťou, prípadne s počtom častíc.

Majme plyn v uzavretej nádobe, ktorá ale môže meniť svoj objem. Napríklad balónik. Ako závisí tlak plynu od látkového množstva, ak ostatné veličiny zostanú bez zmeny? Objem sa nezmení, ani teplota, takže častice sa pohybujú v rovnakom priestore a s rovnakou rýchlosťou. Ak do tohto priestoru pridáme ďalšie častice a nedovolíme, aby objem narástol, tak počet zrážok so stenami balóna stúpne a teda stúpne aj tlak. Ak počet častíc klesne (zníži sa látkové množstvo), tak dôjde k menšiemu počtu zrážok so stenami a tlak klesne. Môžeme povedať, že tlak je priamo úmerný látkovému množstvu.

Ako závisí tlak plynu od teploty, ak ostatné veličiny zostanú bez zmeny? Objem sa nezmení, ani látkové množstvo, takže častice sa pohybujú v rovnakom priestore a je ich konštantné množstvo. Potom, ak zvýšime teplotu častíc, zvýšime tým ich rýchlosť a ak nedovolíme, aby objem narástol, tak počet zrážok so stenami balóna a ich sila stúpne a teda stúpne aj tlak. Ak rýchlosť častíc klesne (zníži sa teplota), tak dôjde k menšiemu počtu zrážok so stenami a zníži sa aj ich sila, takže tlak klesne. Môžeme povedať, že tlak je priamo úmerný teplote.

Ako závisí tlak plynu od objemu, ak ostatné veličiny zostanú bez zmeny? Teplota sa nezmení, ani látkové množstvo, takže častice sa pohybujú rovnakou rýchlosťou a je ich konštantné množstvo. Potom, ak zväčšíme objem priestoru, v ktorom sa častice pohybujú, tak počet zrážok so stenami balóna klesne a teda klesne aj tlak. Ak objem zmenšíme, častice majú menej priestoru na pohyb a častejšia dochádza k zrážkam so stenami, takže tlak narastie. Môžeme povedať, že tlak je nepriamo úmerný objemu.

Ako závisí objem od teploty, ak ostatné veličiny zostanú bez zmeny? Nezmení sa tlak, takže počet nárazov aj celková sila nárazov sa nezmení, tiež sa nemení počet molekúl. Ak zvýšime teplotu, častice sa začnú pohybovať rýchlejšie a pri nárazoch pôsobia väčšou silou. Aby celkové pôsobenie na steny nádoby zostalo bez zmeny, musíme zväčšiť priestor, v ktorom sa častice pohybujú. Podobne, ak sa zmenší priestor, v ktorom sa častice pohybujú (zmenší sa objem), tak treba znížiť rýchlosť častíc, aby celkový počet a sila zrážok (tlak) zostali zachované. Teplota je preto priamo úmerná objemu.

Ako závisí teplota od látkového množstva, ak ostatné veličiny zostanú bez zmeny? Objem sa nezmení, takže máme rovnaký priestor, v ktorom sa častice pohybujú a tiež nechceme zmeniť tlak, takže počet a sila zrážok so stenami nádoby sa nesmie zmeniť. Ak zvýšime teplotu, zvýši sa rýchlosť častíc a aj ich sila, aby celkový počet zrážok a ich priemerná pôsobiaca sila zostala zachovaná, musíme znížiť počet častíc. Podobne, ak znížime teplotu, klesne rýchlosť častíc a sila, akou pôsobia pri náraze na stenu nádoby, takže aby tlak zostal konštantný, musíme pridať viac častíc. Z toho vyplýva, že teplota a látkové množstvo sú nepriamo úmerné.

Na základe týchto úvah môžeme zostaviť rovnicu, ktorá spája všetky 4 veličiny. Ak je vzťah medzi dvomi z nich priamo úmerný, musia sa nachádzať na opačných stranách rovnice, ak je vzťah nepriamo úmerný, tak sa nachádzajú na tej iste strane rovnice:

p V = n R_{m} T

kde $R_{m}$ je molárna plynová konštanta a má hodnotu $R_{m} = 8,31 J \cdot K^{- 1} \cdot {mol}^{- 1}$ . Túto rovnicu nazývame aj stavová rovnica ideálneho plynu. Ak je množstvo plynu nemenné, tak ju môžeme písať aj v tvare:

\frac{p V}{T} = konst.

Ak si vyjadríme látkové množstvo z rovnice

N = n \cdot N_{A}

Potom môžeme napísať stavovú rovnicu pre ideálny plyn aj nasledovne:

p V = \frac{N}{N_{A}} R_{m} T = N k T

kde k je Boltzmannova konštanta: $k = 1,38 \cdot 10^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ .

Ak si vyjadríme látkové množstvo z rovnice

m = n \cdot M_{m}

Potom môžeme napísať stavovú rovnicu pre ideálny plyn aj nasledovne:

p V = \frac{m}{M_{m}} R_{m} T

Ak porovnávame dva stavy plynu, môžeme napísať stavovú rovnicu pre ideálny plyn každého stavu:

p_{1} V_{1} = n_{1} R_{m} T_{1} \Rightarrow \frac{p_{1} V_{1}}{n_{1} T_{1}} = R_{m}

p_{2} V_{2} = n_{2} R_{m} T_{2} \Rightarrow \frac{p_{2} V_{2}}{n_{2} T_{2}} = R_{m}

Keďže na pravej strane oboch rovníc je rovnaká konštanta, musia sa rovnať aj ľavé strany, čím dostávame stavovú rovnicu pre ideálny plyn v tvare, ktorý umožňuje porovnať 2 stavy plynu:

\frac{p_{1} V_{1}}{n_{1} T_{1}} = \frac{p_{2} V_{2}}{n_{2} T_{2}}

Stavová rovnica pre ideálny plyn popisuje reálne plyny len v určitých hraniciach. Plyn musí mať relatívne nízky tlak (napríklad pre dusík do 10 MPa) a vyššiu teplotu (nad 250 K). Ak chceme popísať správanie reálneho plynu za iných podmienok, využíva sa van der Waalsova rovnica.