Matematické kyvadlo

Podobne ako pri pružinovom oscilátore môžeme použiť pohybovú rovnicu harmonického kmitavého pohybu aj pri kyvadle. Rozlišujeme 2 druhy kyvadiel. Matematické a fyzikálne.

Matematické kyvadlo je také kyvadlo, ktorého celá hmotnosť sa nachádza vo vzdialenosti $l$ od bodu, v ktorom je zavesené. Tento bod je súčasne aj osou otáčania. V skutočnosti je matematické kyvadlo model, pri ktorom zanedbávame hmotnosť závesu. Kyvadlo vytvorené ľahkou niťou, alebo lankom so závažím uviazaným na jej konci, môžeme pokladať za matematické kyvadlo.

Ak hmotnosť závesu nie je možné zanedbať vzhľadom na hmotnosť závažia na jeho konci, hovoríme o fyzikálnom kyvadle. Rovnici pre fyzikálne kyvadlo sa nebudeme venovať.

Pri matematickom kyvadle, môžeme predpokladať, že kyvadlo koná harmonický kmitavý pohyb, ak sa kyvadlo pohybuje po priamke. To je splnené, ak kyvadlo kmitá s malou výchylkou ( $φ < 5 °$ ). V takom prípade je výsledná sila pôsobiaca na závažie rovná súčtu gravitačnej sily a ťahovej sily lanka. Výslednica smeruje do rovnovážnej polohy a je priamo úmerná výchylke.

Z obrázka vidno, že výslednú silu možno vypočítať ako súčin sínusu uhla, pod ktorým je kyvadlo vychýlené z rovnovážnej polohy a tiažovej sily:

F_{V} = - F_{g} \sin (φ)

F_{V} = - m g \sin (φ)

Z definície funkcie sínus v pravouhlom trojuholníku môžeme pre sínus písať:

\sin (φ) = \frac{x}{l}

Kde $x$ je vodorovná výchylka kyvadla a $l$ je dĺžka závesu.

Z rovnice pre harmonický môžeme napísať:

F_{V} = - m ω^{2} x

Spojením troch predchádzajúcich rovníc dostaneme:

- m ω^{2} x = - m g \frac{x}{l}

ω^{2} = \frac{g}{l}

ω = \sqrt{\frac{g}{l}}

Ak využijeme rovnice pre výpočet frekvencie a periódy z uhlovej frekvencie dostaneme rovnice:

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{g}{l}}

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

Vidíme, že kyvadlo bude kmitať s frekvenciou, ktorá závisí iba od tiažového zrýchlenia a dĺžky kyvadla. Takúto frekvenciu nazývame vlastná frekvencia kyvadla.