Ideálny plyn, stredná kvadratická rýchlosť, kinetická energia molekuly plynu, tlak plynu

Plynné látky, podobne ako kvapaliny, nadobúdajú tvar nádoby, v ktorých sú umiestnené. Na rozdiel od kvapalín však vypĺňajú celý priestor nádoby a nevytvárajú hladinu (povrchovú vrstvu). Tieto vlastnosti sú zapríčinené slabými, resp. žiadnymi silami medzi molekulami a vysokou kinetickou energiou molekúl. Vzdialenosť medzi molekulami plynu je dostatočne veľká na to, aby príťažlivé sily pôsobiace na medzi dvomi molekulami boli zanedbateľné. Ak plyn nie je príliš stlačený, tak si môžeme predstaviť, že vzdialenosti medzi molekulami sú približne 10 násobné oproti veľkosti molekúl.

Ideálny plyn

Aby sa jednoduchšie pracovalo s rovnicami a zákonmi, ktoré popisujú správanie plynov, vo fyzike využívame model plynu, ktorý nazývame ideálny plyn. Vlastnosti, ktoré pripisujeme ideálnemu plynu, sú nasledovné:

Rozmery molekúl sú v porovnaní so vzdialenosťami medzi nimi zanedbateľné. Inými slovami, predpokladáme, že molekuly sú len body, bez vlastnej veľkosti, či objemu. Pozor! To, že molekuly plynu pokladáme za objekty s nulovým objemom neznamená, že plyn má nulový objem. Objem plynu totiž chápeme ako objem priestoru, v ktorom sa plyn nachádza.
Molekuly sa v plyne náhodne pohybujú a zrážajú. Okrem okamihu zrážky však na seba molekuly nepôsobia žiadnymi silami. Dôsledkom tohto predpokladu je, že medzi zrážkami sa molekuly pohybujú konštantnou rýchlosťou po trajektórii tvaru priamky.

Zrážky molekúl medzi sebou, alebo so stenami nádoby, sú dokonale pružné. To znamená, že molekuly pri zrážke nestrácajú celkovú kinetickú energiu, ale môžu si ju vymieňať.

Reálne plyny sa tomuto idealizovanému modelu podobajú v prípade, že nie sú pri príliš vysokom tlaku, alebo pri príliš nízkych teplotách.

Rozdelenie molekúl podľa rýchlosti

Molekuly sa v každom plyne náhodne a chaoticky pohybujú. Niektoré rýchlejšie, iné pomalšie. Experimentom sa dá zistiť, koľko molekúl sa pohybuje danou rýchlosťou. Dá sa potom vytvoriť graf, ktorý hovorí o tom, koľko z celkového počtu molekúl sa pohybuje danou rýchlosťou. Je to graf rozdelenia molekúl podľa rýchlosti. Na vodorovnú os sa v grafe vynáša rýchlosť a na zvislú os veličina

f = \frac{1}{∆ v} \cdot \frac{∆ N}{N}

kde ∆N je počet molekúl pohybujúcich sa rýchlosťou v intervale (v; v + ∆v), a N je počet všetkých molekúl plynu. Vynásobením hodnoty f s rýchlosťou ∆v dostaneme relatívnu početnosť molekúl pohybujúcich sa rýchlosťami v intervale (v; v + ∆v). Hodnota f je hustota pravdepodobnosti, ktorá hovorí, aká je pravdepodobnosť nájsť časticu s rýchlosťou v intervale (v; v + ∆v). V grafe sú dôležité ešte 2 hodnoty. Červenou je označená rýchlosť s najvyššou pravdepodobnosťou, čiže tá, ktorou sa pohybuje najviac molekúl. Modrou je označená priemerná rýchlosť.

Stredná kvadratická rýchlosť

Okrem priemernej rýchlosti je podstatná ešte stredná kvadratická rýchlosť. Tá súvisí s kinetickou energiou častíc. Keďže sa častice zrážajú a ich rýchlosti sa v čase menia, menia sa aj ich kinetické energie. Ale na základe predpokladu dokonale pružných zrážok platí, že energia sa len vymieňa medzi molekulami, takže celková kinetická energia všetkých molekúl je konštantná. Môžeme preto určiť rýchlosť, s ktorou ak by sa pohybovali všetky molekuly, dostali by sme rovnakú celkovú energiu. Vypočítali by sme ju ako celková kinetická energia vydelená počtom molekúl. Táto rýchlosť sa volá stredná kvadratická rýchlosť. Dokážeme ju vypočítať nasledovne:

v_{k} = \sqrt{\frac{3 k T}{m_{0}}}

Pričom k je Boltzmannova konštanta k = 1,38 · 10⁻²³ J · K⁻¹. T je termodynamická teplota v Kelvinoch a m₀ je hmotnosť jednej molekuly plynu. Ak hmotnosť m₀ vyjadríme pomocou molovej hmotnosti a Avogadrovej konštanty:

m_{0} = \frac{M_{m}}{N_{A}}

tak dostaneme vzťah pre strednú kvadratickú rýchlosť:

v_{k} = \sqrt{\frac{3 k N_{A} T}{M_{m}}}

Súčin Boltzmannovej a Avogadrovej konštanty sa nazýva molárna plynová konštanta a má hodnotu R_m = 8,31 J · K⁻¹ · mol⁻¹. Strednú kvadratickú rýchlosť potom môžeme vypočítať:

v_{k} = \sqrt{\frac{3 R_{m} T}{M_{m}}}

Rozdelenie molekúl podľa rýchlosti a teplota

Rozdelenie molekúl v závislosti od ich rýchlosti je tiež závislé od termodynamickej teploty. Čím je teplota plynu vyššia, tým viac molekúl sa pohybuje vyššou rýchlosťou. Na grafe vidno, že plyn s vyššou teplotou má maximum grafu posunuté viac doprava, to znamená, že najpravdepodobnejšia rýchlosť molekúl v_p1 je väčšia ako najpravdepodobnejšia rýchlosť molekúl chladnejšieho plynu - v_p1. Ale aj napriek tomu sa v oboch plynoch nachádzajú molekuly pohybujúce sa pomaly (v grafe rýchlosť v_min), len v teplejšom plyne ich je menej. Podobne v oboch plynoch sa nachádzajú rýchlo sa pohybujúce molekuly (v grafe rýchlosť v_max), ale v chladnejšom plyne ich je menej.

Kinetická energia molekuly plynu

Stredná kvadratická rýchlosť umožňuje vypočítať aj strednú kinetickú energiu pre molekulu. Je to celková kinetická energia všetkých molekúl vydelená počtom molekúl plynu. V ideálnom plyne neexistujú príťažlivé sily medzi molekulami, takže vnútorná energia plynu je daná hlavne kinetickou energiou. Ak je plyn jednoatómový, tak kinetická energia je jedinou zložkou vnútornej energie. Ak je plyn tvorený viac atómovými molekulami, tak ku kinetickej energii molekúl treba ešte započítavať väzbovú energiu v rámci jednej molekuly. Pre strednú kinetickú energiu jednej molekuly platí:

E_{k_{k}} = \frac{1}{2} m_{0} {v_{k}}^{2} = \frac{1}{2} m_{0} \frac{3 k T}{m_{0}} = \frac{3 k T}{2}

Ak vynásobíme energiu pre jednu molekulu počtom molekúl, potom dostaneme celkovú vnútornú energiu plynu s jednoatómovými molekulami.

U_{celk} = \frac{3 N k T}{2}

Prípadne po dosadení za N, z rovnice

N = n \cdot N_{A}

dostaneme

U_{celk} = \frac{3 n R_{m} T}{2}

Z rovnice vidíme, že ak sa nemení množstvo plynu, tak vnútorná energia plynu závisí len od termodynamickej teploty plynu.

Tlak plynu

Vďaka tomu, že molekuly plynu sa neustále pohybujú, narážajú stále na steny nádoby, v ktorej je plyn uzavretý. Vďaka týmto nárazom pôsobia na steny nádoby silou. Keďže množstvo molekúl je vysoké, sila, ktorú vyvolajú, je merateľne veľká. Sila pôsobiaca na jednotku plochy potom udáva tlak plynu. Tento tlak môžeme buď merať, alebo ho môžeme pre ideálny plyn vypočítať. Tlak plynu je priamo úmerný hustote molekúl (hustota molekúl je počet molekúl vydelený objemom priestoru, v ktorom sa molekuly nachádzajú), hmotnosti molekúl a druhej mocnine strednej kvadratickej rýchlosti:

p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_{0} {v_{k}}^{2}

Rovnica, ktorú sme práve napísali, sa nazýva základná rovnica pre tlak ideálneho plynu.