Dynamika kmitavého pohybu

Dynamika, ako už vieme, sa zaoberá príčinami pohybu.

Keďže vieme, že zrýchlenie harmonického kmitavého pohybu je $a = - ω^{2} y$ a podľa druhého Newtonovho zákona platí $F = m \cdot a$ , môžeme všeobecne vyjadriť súradnicu sily, ktorá je príčinou harmonického kmitavého pohybu.

F = - m ω^{2} y

Táto rovnica sa nazýva pohybová rovnica harmonického kmitavého pohybu.

Pri každom konkrétnom mechanickom oscilátore musíme určiť, ako súvisí uhlová frekvencia ω s takzvanými parametrami oscilátora.

Typickým príkladom mechanického oscilátora je teleso zavesené na pružine (pružinový oscilátor). Tento oscilátor teda tvorí pružina dĺžky l₀ a teleso hmotnosti m. Ak teleso zavesíme na pružinu, predĺži sa táto pôsobením tiažovej sily F_G na dĺžku $l = l_{0} + Δ l$ .

Po ustálení bude teleso v rovnovážnej polohe, kde naň pôsobí tiažová sila $F_{G} = m \cdot g$ a sila pružnosti $F_{p} = k \cdot Δ l$ , kde k je tzv. tuhosť pružiny.

Sila pružnosti má rovnakú veľkosť, ale opačný smer ako tiažová sila. Platí $k \cdot Δ l = m \cdot g$

Keď oscilátor rozkmitáme, tiažová sila F_G sa nemení, no sila pružnosti F_p sa mení v závislosti od okamžitej výchylky y.

Výslednica týchto dvoch síl bude silou, pôsobením ktorej vzniká vlastné kmitanie oscilátora.

\vec{F} = {\vec{F}}_{G} + {\vec{F}}_{p}

Jej veľkosť v bode, kde má teleso okamžitú výchylku y, určíme

F = m . g - k (Δ l + y) = m . g - k Δ l - k y = - k y

Pri okamžitej výchylke y z rovnovážnej polohy pôsobí na oscilátor výsledná sila F, ktorá smeruje do rovnovážnej polohy a jej veľkosť je priamo úmerná okamžitej výchylke.

Keď porovnáme tento vzťah pre výslednú silu s pohybovou rovnicou harmonického kmitavého pohybu

- k . y = - m . ω^{2} y

po úprave dostaneme

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

Vidíme, že vlastné kmitanie oscilátora s uhlovou frekvenciou ω, závisí len od tuhosti pružiny k a hmotnosti telesa m. Teda len od parametrov oscilátora.

Zo vzťahu pre uhlovú frekvenciu už ľahko dostaneme pre periódu T a frekvenciu f kmitania

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}} f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}